数列の収束

数列の収束の定義

定義（数列の収束）

数列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) と \(\alpha\in\mathbb{R}\) を考える。 任意の \(\varepsilon\gt0\) に対して、ある自然数 \(N\) が存在して

\[ n\ge N ~\Longrightarrow~ |a_n-\alpha|\lt\varepsilon \]

が成り立つとき、\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) は \(\alpha\) に収束するといい

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha \]

あるいは

\[ a_n\to\alpha\quad(n\to\infty) \]

と表す。 このとき \(\alpha\) を \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) の極限という。

論理式で書くと

\[ \forall\varepsilon\gt0,~\exists N\in\mathbb{N},~\forall n\in\mathbb{N}:(n\ge N\Longrightarrow |a_n-\alpha|\lt\varepsilon) \]

となります。

例題

次の数列の極限を証明せよ。

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0\ \]

まず、任意の正の実数として、\(\varepsilon\) を定めます。 この \(\varepsilon\) に対して、ある自然数 \(N\) を考えるので、\(N\) は \(\varepsilon\) の式になります。

\[ |a_n-\alpha|=\left|\frac{(-1)^n}{n}-0\right|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n} \]

より、示したい式は

\[ n\ge N ~\Longrightarrow~ \frac{1}{n}\lt\varepsilon \]

です。 つまり \(n\ge N\) のとき

\[ |a_n-\alpha|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}\lt\cdots\lt\varepsilon \]

と言えるように、\(N\) を決めればよいです。

\[ \frac{1}{N}\lt\varepsilon \]

つまり

\[ N\gt\frac{1}{\varepsilon} \]

となるような \(N\) として

\[ N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1 \]

が考えられます。

〈解答〉

任意の \(\varepsilon\gt0\) に対して、自然数

\[ N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1 \]

を取ると、\(n\ge N\) について

\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}-0\right|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}\lt\varepsilon \]

が成り立つ。 したがって

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0 \]

数列の極限の性質

定理（数列の極限の性質）

数列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty\) に対して

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\quad \lim_{n\to\infty}b_n=\beta \]

であるとき、次が成り立つ。

  1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta\)
  2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta\)
  3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\quad(\beta\neq0)\)
証明

  1. 仮定より、任意の \(\varepsilon\gt0\) に対し、ある \(N_1,N_2\in\mathbb{N}\) が存在して

    \[ n\ge N_1\Longrightarrow |a_n-\alpha|\lt\frac{\varepsilon}{2}, \quad n\ge N_2\Longrightarrow |b_n-\beta|\lt\frac{\varepsilon}{2} \]

    となる。 ここで、\(N=\max\{N_1,N_2\}\) とすると、\(n\ge N\) に対し

    \[ \begin{align} |(a_n+b_n)-(\alpha+\beta)| &=|(a_n-\alpha)+(b_n-\beta)|\\ &\le|a_n-\alpha|+|b_n-\beta| \quad (\because \text{三角不等式})\\ &\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{align} \]

    が成り立つ。 したがって

    \[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta \]

    である。

  2. 仮定より、任意の \(\varepsilon\gt0\) に対し、ある \(N_1,N_2\in\mathbb{N}\) が存在して

    \[ n\ge N_1\Longrightarrow |a_n-\alpha|\lt\varepsilon, \quad n\ge N_2\Longrightarrow |b_n-\beta|\lt\varepsilon \]

    となる。 ここで、\(N=\max\{N_1,N_2\}\) とすると、\(n\ge N\) に対し

    \[ \begin{align} |a_nb_n-\alpha\beta|&=|(a_n-\alpha)b_n+\alpha(b_n-\beta)|\\ &\le|a_n-\alpha||b_n|+|\alpha||b_n-\beta| \quad (\because \text{三角不等式})\\ &=|a_n-\alpha||(b_n-\beta)+\beta|+|\alpha||b_n-\beta|\\ &\le|a_n-\alpha|(|b_n-\beta|+|\beta|)+|\alpha||b_n-\beta| \quad (\because \text{三角不等式})\\ &=|a_n-\alpha||b_n-\beta|+|\beta||a_n-\alpha|+|\alpha||b_n-\beta| \end{align} \]

  3. 仮定より、

演習問題

問題
解答