定積分
閉区間の分割
閉区間の分割という概念を定義します。
定義（分割）
閉区間 \([a,b]\) に属する点列 \(x_0,x_1,\cdots,x_n\) を
\[
a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b
\]
となるようにとり、区間 \([a,b]\) を小さい閉区間
\[
[x_0,x_1],~[x_1,x_2],~\cdots,~[x_{n-1},x_n]
\]
に分けることを分割という。
このような分割を
\[
\varDelta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b
\]
と表す。
分割の中で最も長い小区間の長さを分割の大きさといい、次のように定義されます。
定義（分割の大きさ）
分割 \(\varDelta\) における各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) の長さ \(x_i-x_{i-1}\) に対し
\[
|\varDelta|=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})
\]
を分割 \(\varDelta\) の大きさという。
分割の大きさは、区間をどれくらい細かく分けたかの目安になります。
分割の大きさ \(|\varDelta|\) が小さいと、細かく区間を分けたことになります。
リーマン積分の定義
前項で定義した分割を用いて、リーマン積分を定義します。
まず、リーマン和というものを導入します。
定義（リーマン和）
区間 \([a,b]\) の分割
\[
\varDelta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b
\]
に対して、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) ごとに任意の点 \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\) を1つずつ選ぶ。
このとき、\([a,b]\) 上で有界な関数 \(f(x)\) に対して
\[
S(f,\varDelta,\{\xi_i\}):=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
\]
をリーマン和という。
リーマン和において、分割の大きさ \(|\varDelta|\) を限りなく \(0\) に近づける極限を考えます。
この極限が有限の値に収束するとき、関数のリーマン積分（定積分）が定義されます。
定義（リーマン積分）
\(f(x)\) を閉区間 \([a,b]\) 上で有界な関数とする。
また、区間 \([a,b]\) の分割を
\[
\varDelta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b
\]
とし、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) の任意の点を \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\) とするとき、リーマン和は
\[
S(f,\varDelta,\{\xi_i\})=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})
\]
である。
このとき、極限
\[
\lim_{|\varDelta| \to 0}S(f,\varDelta,{\xi_i})
\]
がある一定の値に収束するならば、\(f(x)\) は \([a,b]\) 上でリーマン積分可能であるといい、この極限値を
\[
\int_a^b f(x)dx
\]
と書き、\([a,b]\) における \(f(x)\) の定積分という。
リーマン積分の例題
例題
定積分 \(\displaystyle\int_{0}^{1}x^2dx\) を求めよ。
まず、区間 \([0,1]\) の分割を考えます。
分割はどのようにしてもよいのですが、計算を簡単にするために \(n\) 等分にします。
\[
[0,1]=\left[0,\frac{1}{n}\right]\cup\left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]\cup\cdots\cup\left[\frac{n-1}{n},1\right]
\]
次に、各小区間ごとに代表点 \(\xi_i\) を決めます。
今回は
\[
\xi_i=\frac{i}{n}\in\left[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]
\]
を選ぶことにします。
よって、リーマン和は
\[
\begin{align}
S(f,\varDelta,\{\xi_i\})&=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \\
&=\sum_{i=1}^n {\left(\frac{i}{n}\right)}^2\left(\frac{i}{n}-\frac{i-1}{n}\right) \\
&=\sum_{i=1}^n {\left(\frac{i}{n}\right)}^2\frac{1}{n} \\
&=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 \\
&=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
&=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\\
\end{align}
\]
となります。
分割の大きさ \(|\varDelta|\) は
\[
\begin{align}
|\varDelta| &= \max_{1 \le i \le n} (x_i-x_{i-1}) \\
&=\max_{1 \le i \le n} \left(\frac{i}{n}-\frac{i-1}{n}\right) \\
&=\max_{1 \le i \le n} \frac{1}{n} \\
&=\frac{1}{n}
\end{align}
\]
であり、\(|\varDelta| \to 0\) のとき \(n \to \infty\) であるから
\[
\begin{align}
\lim_{|\varDelta| \to 0}S(f,\varDelta,\{\xi_i\})
&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right) \\
&=\frac{1}{6}(1+0)(2+0)\\
&=\frac{1}{3}
\end{align}
\]
したがって、求める定積分は
\[
\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}
\]
となります。
演習問題
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{1}x^3dx\) を求めよ。
解答