数列の発散
数列の正の無限大への発散
定義（数列の正の無限大への発散）
数列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) を考える。
任意の \(R\gt0\) に対して、ある自然数 \(N\) が存在して
\[
n\ge N ~\Longrightarrow~ a_n\gt R
\]
が成り立つとき、\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) は正の無限大に発散するといい
\[
\lim_{n\to\infty}a_n=\infty
\]
あるいは
\[
a_n\to\infty \quad (n\to\infty)
\]
と表す。
論理式で書くと
\[
\forall R\gt0,~\exists N\in\mathbb{N},~\forall n\in\mathbb{N}:(n\ge N\Longrightarrow a_n\gt R)
\]
となります。
例題
次の数列の極限を証明せよ。
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=\infty
\]
まず、任意の正の実数として、\(R\) を定めます。
この \(R\) に対して、ある自然数 \(N\) を考えるので、\(N\) は \(R\) の式になります。
示したい式は
\[
n\ge N\Longrightarrow\sqrt{n}\gt R
\]
です。
つまり \(n\ge N\) のとき
\[
a_n=\sqrt{n}\ge\sqrt{N}\gt\cdots\gt R
\]
と言えるように、\(N\) を決めればよいです。
\[
\sqrt{N}\gt R
\]
つまり
\[
N\gt R^2
\]
となるような \(N\) として
\[
N=[R^2]+1
\]
が考えられます。
〈解答〉
任意の \(R\gt0\) に対して、自然数
\[
N=[R^2]+1
\]
を取ると、\(n\ge N\) について
\[
\sqrt{n}\ge\sqrt{N}=\sqrt{[R^2]+1}\gt R
\]
が成り立つ。
したがって
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=\infty
\]
数列の負の無限大への発散
定義（数列の負の無限大への発散）
数列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) を考える。
任意の \(R\gt0\) に対して、ある自然数 \(N\) が存在して
\[
n\ge N\Longrightarrow a_n\lt -R
\]
が成り立つとき、\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) は負の無限大に発散するといい
\[
\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty
\]
あるいは
\[
a_n\to-\infty \quad (n\to\infty)
\]
と表す。
論理式で書くと
\[
\forall R\gt0,~\exists N\in\mathbb{N},~\forall n\in\mathbb{N}:(n\ge N\Longrightarrow a_n\lt -R)
\]
となります。
例題
次の数列の極限を証明せよ。
\[
\lim_{n\to\infty}(-n^3)=-\infty
\]
まず、任意の正の実数として、\(R\) を定めます。
この \(R\) に対して、ある自然数 \(N\) を考えるので、\(N\) は \(R\) の式になります。
示したい式は
\[
n\ge N\Longrightarrow -n^3\lt -R
\]
です。
つまり \(n\ge N\) のとき
\[
a_n=-n^3\le -N^3\lt\cdots\lt -R
\]
と言えるように、\(N\) を決めればよいです。
\[
-N^3\lt -R
\]
つまり
\[
N\gt \sqrt[3]{R}
\]
となるような \(N\) として
\[
N=\left[\sqrt[3]{R}\right]+1
\]
が考えられます。
〈解答〉
任意の \(R\gt0\) に対して、自然数
\[
N=\left[\sqrt[3]{R}\right]+1
\]
を取ると、\(n\ge N\) について
\[
-n^3\le -N^3=-\left(\left[\sqrt[3]{R}\right]+1\right)^3\lt-\left(\sqrt[3]{R}\right)^3=-R
\]
が成り立つ。
したがって
\[
\lim_{n\to\infty}(-n^3)=-\infty
\]
数列の振動
定義（数列の振動）
数列 \(\{a_n\}\) が収束せず、正の無限大のも負の無限大にも発散しないとき、\(\{a_n\}\) は振動するという。
例題
次の数列は振動することを証明せよ。
\[
a_n=(-2)^n
\]
数列が振動することを示すには「収束しない」「正の無限大に発散しない」「負の無限大に発散しない」という、この３つを示せばよい。