微分積分学の基本定理

積分の平均値の定理

定理（積分に関する平均値の定理）

関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a,b]\) 上で連続ならば、ある \(c\in[a,b]\) が存在して

\[ \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=f(c) \]

が成り立つ。

証明

\(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) 上で連続なので、最大値・最小値の定理より

\[ M:=\max_{x\in[a,b]}f(x),\quad m:=\min_{x\in[a,b]}f(x) \]

が存在する。 したがって、任意の \(x\in[a,b]\) に対して

\[ m\le f(x)\le M \]

であって

\[ \int_a^bmdx\lt\int_a^bf(x)dx\lt\int_a^bMdx \]

したがって

\[ m(b-a)\lt\int_a^bf(x)dx\lt M(b-a) \]

両辺を \(b-a\neq0\) で割ると

\[ m\lt\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\lt M \]

ここで、\(\alpha,\beta\in[a,b]\) として

\[ M=f(\alpha),~~~m=f(\beta) \]

とする。 中間値の定理より、ある \(c\in[a,b]\) が存在して

\[ \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=f(c) \]

が成り立つ。

微分積分学の第一基本定理

定理（微分積分学の第一基本定理）

関数 \(f(x)\) は区間 \(I\) 上で連続であるとし、\(a,x\in I\) とする。 このとき、\(f(x)\) の不定積分 \(\displaystyle\int_a^xf(t)dt\) は微分可能で

\[ \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x) \]

が成り立つ。

この定理は「連続関数において、不定積分と原始関数は等しい」ということを主張しています。

証明

不定積分 \(\displaystyle\int_a^xf(t)dt\) を \(x\) について微分すると

\[ \begin{align} \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt &=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{1}{\varDelta x}\left(\int_a^{x+\varDelta x}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt\right)\\ &=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{1}{\varDelta x}\left(\int_x^af(t)dt+\int_a^{x+\varDelta x}f(t)dt\right)\\ &=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{1}{\varDelta x}\int_x^{x+\varDelta x}f(t)dt\\ \end{align} \]

ここで、\(f\) は区間 \(I\) 上で連続なので、区間 \([x,x+\varDelta x]\) 上でも連続である。
積分に関する平均値の定理より、ある \(c\in[x,x+\varDelta x]\) が存在して

\[ \int_x^{x+\varDelta x}f(t)dt=f(c)(x+\varDelta x-x)=f(c)\varDelta x \]

したがって \[ \frac{1}{\varDelta x}\int_x^{x+\varDelta x}f(t)dt=f(c) \] \(c\in[x,x+\varDelta x]\) より \[ \lim_{\varDelta x\to0}\frac{1}{\varDelta x}\int_x^{x+\varDelta x}f(t)dt=\lim_{\varDelta x\to0}f(c)=f(x) \] となるので \[ \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x) \] が成り立つ。

微分積分学の第二基本定理

定理（微分積分学の第二基本定理）

関数 \(f(x)\) が区間 \(I\) 上でリーマン可積分で、\(f\) の原始関数 \(F\) が存在するとき、\(a,b\in I\) として \[ \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \] が成り立つ。

証明