広義積分

有界でない関数の積分

定義（広義積分）

関数 \(f(x)\) は区間 \((a,b]\) で連続で、\(a\) の近くで有界でないとする。 任意の \(c\in(a,b)\) に対して、\(f(x)\) は区間 \([c,b]\) 上で有界かつ可積分であるとき

\[ \int_a^b f(x)dx:=\lim_{c\to a+0}\int_c^b f(x)dx \]

とし、この極限が有限値に収束するならば、\(f(x)\) は区間 \((a,b]\) 上で広義積分可能であるという。

また、\(f\) が \([a,b)\) で連続で、\(b\) の近くで有界でないとき

例題

定積分 \(\displaystyle\int_0^1\log xdx\) を求めよ。 ただし、\(\displaystyle\lim_{x\to0}x\log x=0\) を用いてよい。

被積分関数は \(x=0\) の近くで有界でないから、この積分は広義積分です。 \(a\in(0,1)\) とすると

\[ \begin{align} \int_a^1\log xdx&=[x\log x-x]_a^1\\ &=-1-a\log a+a \end{align} \]

よって

\[ \lim_{a\to+0}\int_a^1\log xdx=-1 \]

であるから、広義積分可能であり

\[ \int_0^1\log xdx=-1 \]

無限区間での積分

定義（広義積分）

関数 \(f(x)\) は区間 \([a,\infty)\) 上で連続であるとする。任意の \(R\gt a\) に対して、\([a,R]\) 上で可積分であるとき

\[ \int_a^\infty f(x)dx:=\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)dx \]

とし、この極限が有限値に収束するならば、\(f(x)\) は区間 \([a,\infty)\) 上で広義積分可能であるという。

また、\(f(x)\) が 区間 \((-\infty,b]\) 上の連続関数である場合も同様に定義する。

\[ \int_{-\infty}^b f(x)dx:=\lim_{R\to-\infty}\int_R^b f(x)dx \]

積分 \[ \int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{a\to{-\infty}}\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)dx \] として計算しなければならない。

例題

定積分 \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{(1+x)^3}dx\) を求めよ。

\(R\gt0\) とすると

\[ \begin{align} \int_0^R\frac{1}{(1+x)^3}dx &=\int_0^R(1+x)^{-3}dx\\ &=\left[-\frac{1}{2}(1+x)^{-2}\right]_0^R\\ &=-\frac{1}{2(1+R)^2}+\frac{1}{2} \end{align} \]

よって

\[ \lim_{R\to\infty}\int_0^R\frac{1}{(1+x)^3}dx=\frac{1}{2} \]

であるから、広義積分可能であり

\[ \int_0^\infty\frac{1}{(1+x)^3}dx=\frac{1}{2} \]

演習問題

問題

次の積分を求めよ。

  1. \(\displaystyle\int_0^2\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx\)
  2. \(\displaystyle\int_0^\infty xe^{-x^2}dx\)
  3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+x+1}dx\)
解答

  1. \(a\gt0\) とする。

    \[ \begin{align} \int_0^a\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx &= \end{align} \]

  2. \(R\gt0\) とする。

    \[ \begin{align} \int_0^Rxe^{-x^2}dx &=-\frac{1}{2}\int_0^R(-x^2)'e^{-x^2}dx\\ &=-\frac{1}{2}\left[e^{-x^2}\right]_0^R\\ &=-\frac{1}{2}e^{-R^2}+\frac{1}{2} \end{align} \]

    よって

    \[ \lim_{R\to\infty}\int_0^Rxe^{-x^2}dx=\frac{1}{2} \]

    であるから、広義積分可能であり

    \[ \int_0^\infty xe^{-x^2}dx=\frac{1}{2} \]

  3. \(a,b\in\mathbb{R}~~(a\lt b)\) とする。

    \[ \begin{align} \int_a^b\frac{1}{x^2+x+1}dx &=\int_a^b\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx\\ &=\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}\right]_a^b\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\arctan{\frac{2b+1}{\sqrt{3}}}-\arctan{\frac{2a+1}{\sqrt{3}}}\right) \end{align} \]

    よって

    \[ \begin{align} \lim_{a\to{-\infty}}\lim_{b\to\infty}\int_a^b\frac{1}{x^2+x+1}dx&=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \end{align} \]

    であるから、広義積分可能であり

    \[ \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+x+1}dx=\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \]