不定積分と原始関数

不定積分

定義（不定積分）

関数 \(f(x)\) は区間 \(I\) 上でリーマン可積分とする。 \(a,x\in I\) とすると、\(f(x)\) は区間 \([a,x]\) 上でリーマン可積分であり、関数

\[ F(x):=\int_a^x f(t)dt \]

が定義できる。 これを点 \(a\) を基点とする \(f(x)\) の不定積分という。

原始関数

定義（原始関数）

区間 \(I\) 上で定義された関数 \(f(x)\) に対して、\(I\) 上で微分可能な関数 \(F(x)\) が存在して

\[ F'(x)=f(x) \]

が成り立つとき、\(F(x)\) を \(f(x)\) の原始関数という。

例えば

\[ \left(\frac{1}{2}x^2+x\right)'=x+1 \]

なので、\(\dfrac{1}{2}x^2+x\) は \(x+1\) の原始関数です。 しかし

\[ \left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)'=x+1 \]

のように、定数を加えたものでも成り立ちます。 つまり、原始関数が存在するとき、それは一意に定まるとは限りません。

定理（原始関数の非一意性）

関数 \(f(x)\) の原始関数が \(F(x)\) であるとき、\(C\in\mathbb{R}\) とすると

\[ F(x)+C \]

もまた、\(f(x)\) の原始関数である。