逆三角関数
逆三角関数の定義
定義（逆三角関数）
\(\displaystyle\sin x:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) の逆関数を \(\displaystyle\arcsin x:[-1,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) 、
\(\displaystyle\cos x:\left[0,\pi\right]\to[-1,1]\) の逆関数を \(\displaystyle\arccos x:[-1,1]\to\left[0,\pi\right]\) 、
\(\displaystyle\tan x:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to(-\infty,\infty)\) の逆関数を \(\displaystyle\arctan x:(-\infty,\infty)\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) と定義する。
逆三角関数の性質
定理（逆三角関数の性質）
- \(\arcsin(-x)=-\arcsin x\)
- \(\arccos(-x)=\pi-\arccos x\)
- \(\arctan(-x)=-\arctan x\)
- \(\arcsin x+\arccos x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
- \(
\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=
\begin{cases}
\dfrac{\pi}{2} & (x\gt0) \\
-\dfrac{\pi}{2} & (x\lt0)
\end{cases}
\)
証明
unknown