上極限・下極限
数列の上極限・下極限の定義
実数列 \(\{a_n\}\) に対して
\[
\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\ge n}a_k\right)
\]
を \(\{a_n\}\) の上極限という。 また
\[
\liminf_{n\to\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\ge n}a_k\right)
\]
を \(\{a_n\}\) の下極限という。
数列の極限の存在
実数列 \(\{a_n\}\) に対して
\[
\limsup_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n=\alpha
\]
が成り立つとき
\[
\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha
\]
である。