重積分

重積分の定義

長方形の「分割」という概念を定義します。

定義（長方形分割）

長方形 \([a,b]\times[c,d]\) と、点 \(x_0,x_1,\cdots,x_m\in[a,b],~y_0,y_1,\cdots,y_n\in[c,d]\) に対して

\[ \Delta: \begin{cases} a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_m=b\\ c=y_0\lt y_1\lt y_2\lt\cdots\lt y_n=d \end{cases} \]

を長方形 \([a,b]\times[c,d]\) の分割 \(\Delta\) という。

さらに、この分割から生じる小長方形は

\[ R_{ij} = [x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]\quad (i=1,2,\cdots,m,~j=1,2,\cdots,n) \]

と表される。

次に、分割の大きさを定義します。

定義（長方形分割の大きさ）

長方形分割 \(\varDelta\) における各小長方形 \([x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]\) の２辺の長さをそれぞれ

\[ \Delta x_i:=x_i-x_{i-1},\quad \Delta y_j:=y_j-y_{j-1} \]

とするとき

\[ |\Delta|=\max_{1\le i\le m,~1\le j\le n}\{\Delta x_i,\Delta y_j\} \]

を分割 \(\Delta\) の大きさという。

長方形分割の中で最も長い辺の長さが分割の大きさです。 \(|\Delta|\) が小さいと、より細かく分けたということになります。

定義（リーマン和）

長方形 \([a,b]\times[c,d]\) の分割

\[ \Delta: \begin{cases} a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_m=b\\ c=y_0\lt y_1\lt y_2\lt\cdots\lt y_n=d \end{cases} \]

に対して、各小長方形 \(R_{ij}\) ごとに代表点 \((\xi_{ij},\eta_{ij})\in R_{ij}\) を1つずつ選ぶ。 このとき、関数 \(f(x)\) に対して

\[ S(f,\Delta,\{(\xi_{ij},\eta_{ij})\})=\sum_{1\le i\le m,~1\le j\le n}f(\xi_{ij},\eta_{ij})\Delta x_i\Delta y_j \]

を \(f\) のリーマン和という。

定義（リーマン積分）

関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) 上で有界であるとする。
区間 \([a,b]\) の分割 \[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] に対して、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) ごとに任意の点 \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\) を1つ選ぶ。このときのリーマン和は \[ S(f,\varDelta,{\xi_i})=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \] である。このリーマン和における、分割の大きさ \(|\varDelta|\) を \(0\) に近づける極限 \[ \lim_{|\varDelta| \to 0}S(f,\varDelta,{\xi_i}) \] がある一定の値に収束するならば、\(f(x)\) は \([a,b]\) 上でリーマン積分可能であるといい、この極限値を \[ \int_a^b f(x)dx \] と書き、これを閉区間 \([a,b]\) における \(f(x)\) の定積分という。

演習問題

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{1}x^2dx\) を求めよ。

解答

\(n\in\mathbb{Z}\) として区間 \([0,1]\) を \[ [0,1]=\left[0,\frac{1}{n}\right]\cup\left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]\cup\cdots\cup\left[\frac{n-1}{n},1\right] \] のように分割すると \[ \varDelta x_k=\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n}=\frac{1}{n} \] である。
区間 \(\displaystyle\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]\) から点 \(\displaystyle\frac{k}{n}\) を選ぶと、\(x^2\) のリーマン和は \[ \sum_{k=1}^n {\left(\frac{k}{n}\right)}^2\frac{1}{n} \] となる。 \[ |\varDelta| = \max_{1 \le k \le n} \varDelta x_k=\frac{1}{n} \] であり、\(|\varDelta| \to 0\) のとき \(n \to \infty\) であるから

\[ \begin{align} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2\frac{1}{n} &=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^nk^2\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\\ &=\frac{1}{6}\cdot1\cdot2\\ &=\frac{1}{3} \end{align} \]

したがって \[ \int_0^1x^2dx=\frac{1}{3} \]