累次積分
累次積分
重積分は累次積分という手法で計算することができます。
関数 \(f(x,y)\) が長方形領域 \(R=[a,b]\times[c,d]\) 上で連続ならば、次が成り立つ。
\[
\iint_Rf(x,y)dxdy=\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx=\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)dx\right)dy
\]
特に、\(f(x,y)=\phi(x)\psi(y)\) と書けるとき、次が成り立つ。
\[
\iint_Rf(x,y)dxdy=\int_a^b\phi(x)dx\int_c^d\psi(y)dy
\]
次の重積分を計算せよ。
\[
\iint_R(2x^2y+y^2)dxdy,\quad R=[0,1]\times[0,2]
\]
\[
\begin{align}
&\iint_R(2x^2y+y^2)dxdy\\
&=\int_0^1\left(\int_0^2(2x^2y+y^2)dy\right)dx\\
&=\int_0^1\left[x^2y^y+\frac{1}{3}y^3\right]_{y=0}^{y=2}dx\\
&=\int_0^1\left(4x^2+\frac{8}{3}\right)dx\\
&=\left[\frac{4}{3}x^3+\frac{8}{3}x\right]_0^1\\
&=4
\end{align}
\]