はさみうちの原理と追い出しの原理（数列）

はさみうちの原理

定理（はさみうちの原理）

数列 \(\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\) がすべての \(n\) に対して

\[ a_n\le c_n\le b_n \]

を満たしており

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha \]

であるとき

\[ \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha \]

が成り立つ。

証明

\(a_n\le c_n\le b_n\) であるから

\[ a_n-\alpha\le c_n-\alpha\le b_n-\alpha~\cdots~\text{①} \]

また、\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\) であるから、 任意の \(\varepsilon\gt0\) に対し、それぞれある自然数 \(N_1,N_2\) が存在して

\[ \begin{align} n\ge N_1 ~&\Longrightarrow~ |a_n-\alpha|\lt\varepsilon \\ n\ge N_2 ~&\Longrightarrow~ |b_n-\alpha|\lt\varepsilon \end{align} \]

となる。 ここで、\(N=\max\{N_1,N_2\}\) とすると、\(n\ge N\) のとき

\[ |a_n-\alpha|\lt\varepsilon,\quad |b_n-\alpha|\lt\varepsilon \]

がともに成り立つ。 すなわち

\[ \begin{align} &-\varepsilon\lt a_n-\alpha\lt\varepsilon~\cdots~\text{②} \\ &-\varepsilon\lt b_n-\alpha\lt\varepsilon~\cdots~\text{③} \end{align} \]

①、②、③より

\[ -\varepsilon\lt c_n-\alpha\lt\varepsilon \]

が成り立つ。 したがって

\[ n\ge N\Longrightarrow |c_n-\alpha|\lt\varepsilon \]

となるので

\[ \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha \]

追い出しの原理

定理（追い出しの原理）

数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\) がすべての \(n\) に対して

\[ a_n\le b_n \]

を満たしており

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \]

であるとき

\[ \lim_{n\to\infty}b_n=\infty \]

が成り立つ。

証明

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\) であるから、任意の \(R\gt0\) に対し、ある自然数 \(N\) が存在して

\[ n\ge N ~\Longrightarrow~ a_n\gt R \]

となる。 ここで、\(a_n\le b_n\) であるから

\[ n\ge N ~\Longrightarrow~ b_n\gt R \]

も成り立つ。 したがって

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \]

演習問題

問題

次の数列の極限を求めよ。

  1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n\pi)}{n^2+1}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{[2^n]}{2^n}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n^2}\)
解答

  1. \(-1\le\sin(n\pi)\le1\) より

    \[ -\frac{1}{n^2+1}\le\frac{\sin(n\pi)}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2+1} \]

    ここで

    \[ \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n^2+1}\right)=0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+1}=0 \]

    であるから、はさみうちの原理より

    \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n\pi)}{n^2+1}=0 \]
  2. \([2^n]\le2^n\lt[2^n]+1\Longleftrightarrow2^n-1\lt[2^n]\le2^n\) より \[ 1-\frac{1}{2^n}\lt\frac{[2^n]}{2^n}\le1 \] ここで \[ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1 \] であるから \[ \lim_{n\to\infty}\frac{[2^n]}{2^n}=1 \]