三角関数
三角関数の定義と基本性質
原点を中心とする半径 \(r\) の円
\[
\sin\theta=\frac{y}{r},~\cos\theta=\frac{x}{r},~\tan\theta=\frac{y}{x}
\]
- \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
- \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
証明
三角関数のグラフと平行移動の公式
加法定理
- \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
- \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
- \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)
倍角・半角の公式
- \(\sin{2\theta}=2\sin\theta\cos\theta\)
- \(\cos{2\theta}=\cos^2\theta-\sin^2\theta\)
- \(\tan{2\theta}=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)
- \(\sin{3\theta}=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)
- \(\cos{3\theta}=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)
- \(\displaystyle\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}\)
- \(\displaystyle\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}\)
- \(\displaystyle\tan^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\)
積和・和積の公式
三角関数の積
\[
\sin\alpha\cos\beta
\]
を三角関数の和で表すことを考えます。 正弦の加法定理を思い出すと
\[
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\]
\[
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\]
この右辺の第１項に \(\sin\alpha\cos\beta\) があることがわかります。 これらの両辺を足し合わせると
\[
\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta
\]
となり
\[
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}
\]
が得られます。
三角関数の合成
\[
a\sin\theta+b\cos\theta
\]