過剰和・不足和とダルブーの定理

過剰和と不足和

定義（過剰和・不足和）

\(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) 上で有界な関数とする。区間 \([a,b]\) の分割

\[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b \]

に対して、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) における \(f(x)\) の上限と下限をそれぞれ

\[ M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x),\quad m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x) \]

とする。このとき

\[ U(f,\varDelta):=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1}) \]

を過剰和といい

\[ L(f,\varDelta):=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1}) \]

を不足和という。

定理（ダルブーの定理）

\[ \lim_{|\varDelta|\to0}U(f,\varDelta)=\inf_{\varDelta}U(f,\varDelta) \] \[ \lim_{|\varDelta|\to0}L(f,\varDelta)=\sup_{\varDelta}L(f,\varDelta) \]

が成り立つ。

定理（リーマン積分可能なための必要十分条件）

閉区間 \([a,b]\) の分割を

\[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b \]

とする。関数 \(f(x)\) が \([a,b]\) 上でリーマン積分可能であるための必要十分条件は

\[ \inf_{\varDelta}U(f,\varDelta)=\sup_{\varDelta}L(f,\varDelta) \]

となることである。

定理（単調関数のリーマン積分可能性）

閉区間 \(I\) 上の単調関数は、\(I\) 上でリーマン積分可能である。

証明

定理（連続関数のリーマン積分可能性）

閉区間 \(I\) 上の連続関数は、\(I\) 上でリーマン積分可能である。

証明

問題

解答