重積分の変数変換
ヤコビアン
2変数 \(x,y\) と \(C^1\) 級関数 \(\phi(u,v),\psi(u,v)\) に対して
\[
x=\phi(u,v),\quad y=\psi(u,v)
\]
という変数変換を定めるとき、行列式
\[
J:=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=
\begin{vmatrix}
x_u & x_v\\
y_u & y_v
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\phi_u(u,v) & \phi_v(u,v)\\
\psi_u(u,v) & \psi_v(u,v)
\end{vmatrix}
\]
を写像 \((u,v)\mapsto (x,y)\) のヤコビアンという。
重積分の変数変換
関数 \(f(x,y)\) は領域 \(D\) 上で連続とする。 \(C^1\) 級関数 \(\phi(u,v),\psi(u,v)\) に対して
\[
x=\phi(u,v),\quad y=\psi(u,v)
\]
という変数変換を考える。 この変換によって、\(D\) は \(uv\) 平面上の領域 \(E\) に対応するとする。 この変換のヤコビアンを \(J\) とすると
\[
\iint_Df(x,y)dxdy = \iint_Ef(\phi(u,v),\psi(u,v))|J|dudv
\]
が成り立つ。
演習問題