コーシーの積分定理
コーシーの積分定理
コーシーの積分定理とは、「正則な複素関数の、交差していない閉曲線での周回積分は \(0\) である」と主張する強力な定理です。
複素関数 \(f(z)\) は \(\mathbb{C}\) 内の単連結領域 \(D\) 内で正則とする。 このとき、\(D\) 内の単純閉曲線 \(C\) に対して、次が成り立つ。
\[
\oint_Cf(z)dz=0
\]
コーシーの積分定理の証明
\[
\begin{align}
\oint_C f(z)dz
&= \oint_C \{u(x,y)+iv(x,y)\}(dx+idy) \\
&= \oint_C \{udx-vdy\} + i\oint_C \{vdx+udy\}
\end{align}
\]
グリーンの定理より
\[
\oint_C f(z)dz=\iint_D \left(-\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\right)dxdy + i\iint_D \left(-\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)dxdy
\]
コーシー・リーマンの方程式より
\[
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
\]
が成り立つので
\[
\oint_C f(z)dz=\iint_D 0dxdy + i\iint_D 0dxdy=0
\]
周回積分の公式
任意の単純閉曲線 \(C\) に対して、次が成り立つ。
\[
\oint_C \frac{1}{z-\alpha}dz =
\begin{cases}
2\pi i & (\alpha~が~C~の内部にある)\\
0 & (\alpha~が~C~の外部にある)
\end{cases}
\]
演習問題