コーシー・リーマンの方程式
コーシー・リーマンの方程式
次の二つの方程式
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\]
をコーシー・リーマンの方程式といいます。
領域 \(D\subset\mathbb{C}\) 上の複素関数 \(f(z)\) が \(D\) 上で正則である必要十分条件は、\(f(z)\) の実部を \(u(x,y)\) 、虚部を \(v(x,y)\) とするとき、すなわち
\[
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
\]
に対して
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\]
が成り立つことである。
コーシー・リーマンの方程式の導出
\[
\begin{align}
f(z+\Delta z)
&= u(x+\Delta x, y+\Delta y) + iv(x+\Delta x, y+\Delta y) \\
\\
&= \left\{ u(x,y) + \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y \right\} \\
&\quad~ + i\left\{ v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y \right\} \\
&\quad~ + o(\Delta x,\Delta y) \quad (\Delta x\to0,~\Delta y\to0) \\
\\
&= u(x,y) + iv(x,y) \\
&\quad~ +\left( \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \right)\Delta x + \left( \frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y} \right)\Delta y \\
&\quad~ + o(\Delta x,\Delta y) \\
\\
&= f(z) + \left( \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \right)\Delta x + \left( \frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y} \right)\Delta y \\
&\quad~ + o(\Delta x,\Delta y) \\
\\
&= f(z) + A\cdot\frac{\Delta z+\overline{\Delta z}}{2} + B\cdot\frac{\Delta z-\overline{\Delta z}}{2i} + o(\Delta z)
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}
&= \lim_{\Delta z\to0}\frac{1}{\Delta z}\left( A\cdot\frac{\Delta z+\overline{\Delta z}}{2} + B\cdot\frac{\Delta z-\overline{\Delta z}}{2i} \right) \\
&= \lim_{\Delta z\to0}\frac{1}{2}\left( A + A\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} - Bi + Bi\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} \right) \\
&= \lim_{\Delta z\to0}\frac{1}{2}\left\{ (A-Bi) + (A+Bi)\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} \right\} \\
\end{align}
\]
この極限が存在するためには \(\dfrac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\) の係数が \(0\) となればよいので
\[
A+Bi=0
\]
すなわち
\[
\left( \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \right) + i\left( \frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y} \right) = 0
\]
整理すると
\[
\left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) + i\left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0
\]
両辺の実部と虚部を比較して
\[
\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0
\]
演習問題