複素微分

複素微分の定義

定義（複素関数の微分可能性）

複素関数 \(f(z)\) と定義域内の点 \(\alpha\) に対して

\[ \lim_{z\to\alpha}\frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha} \]

が存在するとき、\(f(z)\) は \(z=\alpha\) で微分可能であるという。 また、この極限値を \(f'(\alpha)\) と書き、\(f\) の \(\alpha\) における微分係数という。

ここで \(z\to\alpha\) というのは、あらゆる方向から \(\alpha\) に近づけることを意味しており、極限値は方向によらず同じでなければなりません。

また、\(\varDelta z=z-\alpha\) とおくと、同じ極限は

\[ \lim_{\Delta z\to0}\frac{f(\alpha+\Delta z)-f(\alpha)}{\Delta z} \]

と書き換えることができます。

複素関数の導関数

複素関数が、ある領域 \(D\) 上のすべての点で微分可能であるとき、\(D\) 上の各点に対応する微分係数の関数が定義できます。

定義（複素関数の導関数）

複素関数 \(f(z)\) が領域 \(D\) 上で微分可能であるとき

\[ \frac{df}{dz}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \]

で定まる関数 \(\dfrac{df}{dz}(z)\) を \(f(z)\) の導関数という。

例題

次の複素関数の微分可能性を定義式により判定し、微分可能なら導関数を求めよ。

  1. \(f(z)=z^2\)
  2. \(g(z)=\overline{z}\)
解答例
  1. \[ \begin{align} \lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} &= \lim_{\Delta z\to0}\frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta z\to0}\frac{z^2+2z\Delta z+(\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta z\to0} (2z+\Delta z) \\ &= 2z \end{align} \]

    よって \(f(z)\) は微分可能であり、導関数は

    \[ \frac{df}{dz}(z)=2z \]
  2. \[ \begin{align} \lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} &= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\overline{z+\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\overline{z}+\overline{\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta z\to0}\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} \end{align} \]

    ここで、\(\Delta z=re^{i\theta}~(r\gt0,~\theta\in\mathbb{R})\) とおくと、\(r\to0\) であり

    \[ \begin{align} \lim_{\Delta z\to0}\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} &= \lim_{r\to0}\frac{\overline{re^{i\theta}}}{re^{i\theta}} \\ &= \lim_{r\to0}\frac{re^{-i\theta}}{re^{i\theta}} \\ &= \lim_{r\to0}e^{-2i\theta} \\ &= e^{-2i\theta} \end{align} \]

    これは、\(\theta\) の定め方に依存するため、極限が一意に定まらない。 よって \(g(z)\) は微分可能ではない。

正則性

複素関数が、微分可能かつ導関数が連続であるとき、その複素関数は正則であるといいます。

定義（正則性）

複素関数 \(f(z)\) が領域 \(D\) 上で微分可能であり、かつ導関数 \(\dfrac{df}{dz}(z)\) が \(D\) 上で連続であるとき、\(f(z)\) は \(D\) 上で正則であるという。