複素指数関数

複素指数関数の定義

オイラーの公式

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

から

\[ e^{x+yi}=e^{x}e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y) \]

のように表せるため、これを複素指数関数として定義します。

定義（複素指数関数）

複素数 \(z=x+yi~(x,y\in\mathbb{R})\) に対して

\[ e^z := e^x(\cos y+i\sin y) \]

で定める関数を複素指数関数という。 \(e^z\) は \(\exp z\) とも書く。

定義から、複素指数関数 \(e^z\) は、絶対値が \(e^x\) で偏角が \(y\) である複素数です。

複素指数関数の性質

実関数の指数関数と同様に、複素指数関数においても指数法則が成り立ちます。 また、複素指数関数には、実関数の指数関数にはなかった周期性があります。

定理（複素指数関数の性質）

\(z,w\in\mathbb{C}\) に対して、次が成り立つ。

  1. \(e^z\cdot e^w=e^{z+w}\)
  2. \(\dfrac{e^z}{e^w}=e^{z-w}\)
  3. \((e^z)^m=e^{mz} \quad (m\in\mathbb{Z})\)
  4. \(e^{z+2\pi i}=e^z\)

複素指数関数の計算

例題を解いてみましょう。

例題

次の複素指数関数の値を求めよ。

  1. \(e^{2+\frac{\pi}{3}i}\)
  2. \(e^{3-\frac{\pi}{4}i}\)
  3. \(e^{i\pi}\)

演習問題

問題

解答