複素積分

複素積分の定義

定義（複素積分）

曲線 \(C\) を点列 \(\{z_k\}_{k=0}^n\) によって \(n\) 個の曲線 \(C_1,C_2,\cdots,C_n\) に分割し、各 \(C_k\) に対して、\(C_k\) 内に代表点 \(\zeta_k\) を定める。このとき、複素関数 \(f(z)\) に対して、極限

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1}) \]

が収束するならば、この極限値を

\[ \int_Cf(z)dz \]

と書き、積分路を \(C\) とする \(f(z)\) の複素積分という。

特に、積分路 \(C\) が閉曲線である複素積分を周回積分といい

\[ \oint_Cf(z)dz \]

と書くことがある。

定理（複素積分の性質）

曲線 \(C\) 上で複素関数 \(f(z),g(z)\) に対して、次が成り立つ。

\(k,l\in\mathbb{C}\) に対して
\(\displaystyle\int_C\{kf(z)+lg(z)\}dz=k\int_Cf(z)dz+l\int_Cg(z)dz\)
\(\displaystyle\int_{-C}f(z)dz=-\int_Cf(z)dz\)
\(C=C_1+C_2\) のとき
\(\displaystyle\int_{C_1+C_2}f(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz\)

積分路を \(C\) とする \(f(z)\) の複素積分

\[ \int_Cf(z)dz \]

は、曲線 \(C\) に沿った線積分なので、計算に関わるのは \(f(z)\) の \(C\) 上の値のみです。曲線 \(C\) のパラメータ表示が

\[ C : z(t)=x(t)+iy(t) \quad (a\le t\le b) \]

となるならば、\(z=z(t)\) を \(f(z)\) に代入することで、曲線上（1次元）に帰着することができます。このことから、次の公式が得られます。

定理（複素積分の計算公式）

滑らかな曲線 \(C:z=z(t)~(a\le t\le b)\) 上で連続な関数 \(f(z)\) に対して

\[ \int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))\frac{dz}{dt}dt \]

が成り立つ。

定理（周回積分の基本公式）

\(C\) を \(\alpha\in\mathbb{C}\) を中心とする半径 \(r\) の円とする。 \(m\in\mathbb{Z}\) とすると、\(r\) の値によらず次が成り立つ。

\[ \oint_C(z-\alpha)^mdz=\begin{cases} 0 & (m\neq -1) \\ 2\pi i & (m=-1) \end{cases} \]

証明

積分路 \(C\) は \(z(t)=\alpha+re^{it}~(0\le t\le 2\pi)\) と表せる。このとき \(\displaystyle\frac{dz}{dt}=ire^{it}\) である。

\(m\neq -1\) のとき
\[ \begin{align} \oint_C(z-\alpha)^mdz &= \int_0^{2\pi}(re^{it})^m\cdot ire^{it}dt \\ &= ir^{m+1}\int_0^{2\pi}e^{i(m+1)t}dt \\ &= ir^{m+1}\left[\frac{1}{i(m+1)}e^{i(m+1)t}\right]_0^{2\pi} \\ &= 0 \end{align} \]
\(m=-1\) のとき
\[ \begin{align} \oint_C(z-\alpha)^mdz &= \int_0^{2\pi}(re^{it})^{-1}\cdot ire^{it}dt \\ &= \int_0^{2\pi}idt \\ &= 2\pi i \end{align} \]

問題

解答