複素対数関数

複素対数関数の定義

定義（複素数の対数）

複素数 \(w\neq0\) に対して、方程式 \(e^z=w\) の解を

\[ \log w \]

と書き、\(w\) の対数という。

定義（複素対数関数）

任意の複素数 \(z\neq0\) に対して

\[ \log z=\log|z|+i\arg z \]

で定まる多価関数を複素対数関数という。

定義（複素対数関数）

任意の複素数 \(z\neq0\) の偏角の主値を \(\operatorname{Arg}z\) とするとき

\[ \operatorname{Log}z=\log|z|+i\operatorname{Arg}z \]

を \(\log z\) の主値という。

偏角の主値としては \(-\pi\lt\operatorname{Arg}z\le\pi\) がよく用いられる。

主値を用いると、複素対数関数は

\[ \log z=\operatorname{Log}z+2m\pi i \quad (m\in\mathbb{Z}) \]

と書けます。

例題を解いてみましょう。

例題

次の複素対数関数の値と、その主値を求めよ。ただし、偏角の主値範囲は \(-\pi\lt\operatorname{Arg}z\le\pi\) とする。

問題

解答