複素数

複素数の定義

定義（複素数）

\(i\) を虚数単位とする。 このとき、\(a,b \in\mathbb{R}\) を用いて

\[ a+bi \]

のように表される数を複素数という。 また、複素数全体の集合を

\[ \mathbb{C}:=\{a+bi~|~a,b\in\mathbb{R}\} \]

と表す。

定義（実部・虚部）

複素数 \(z=a+bi\) に対し、実数 \(a\) を \(z\) の実部、実数 \(b\) を \(z\) の虚部といい、それぞれ

\[ a=\operatorname{Re}z,\quad b=\operatorname{Im}z \]

と表す。

共役複素数

虚部の符号が異なる数を共役複素数といいます。

定義（共役複素数）

複素数 \(z=a+bi\) に対し

\[ \overline{z}:=a-bi \]

を \(z\) の共役複素数という。

定理（共役複素数の性質）

\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\) に対し、以下が成り立つ。

  1. \(\overline{(\overline{\alpha})}=\alpha\)
  2. \(\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}\)
  3. \(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
  4. \(\displaystyle\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}\quad (\beta\neq0)\)
  5. \(\operatorname{Re}\alpha=\displaystyle\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{2}\)
  6. \(\operatorname{Im}\alpha=\displaystyle\frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2i}\)

複素数の絶対値

定義（複素数の絶対値）

複素数 \(z=a+bi\) に対し

\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \]

を \(z\) の絶対値という。

定理（複素数の絶対値の性質）

\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\) に対し、以下が成り立つ。

  1. \(|\alpha|=0\Longleftrightarrow \alpha=0\)
  2. \(|\alpha|=|-\alpha|=|\overline{\alpha}|\)
  3. \(|\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha}\)
  4. \(|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|\)
  5. \(\displaystyle\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|=\frac{|\alpha|}{|\beta|}\quad (\beta\neq0)\)