複素数

虚数単位の導入

定義（虚数単位）

\(2\) 乗して \(-1\) となる数 \(i\) を

\[ i^2=-1 \]

と定義し、\(i\) を虚数単位という。

複素数の定義

定義（複素数）

虚数単位 \(i\) と \(a,b \in\mathbb{R}\) を用いて

\[ a+bi \]

のように表される数を複素数という。 また、複素数全体の集合を

\[ \mathbb{C}:=\{a+bi \mid a,b\in\mathbb{R}\} \]

と表す。

定義（実部・虚部）

複素数 \(z=a+bi~(a,b\in\mathbb{R})\) に対して、\(a\) を \(z\) の実部、\(b\) を \(z\) の虚部といい、それぞれ

\[ a=\operatorname{Re}z,\quad b=\operatorname{Im}z \]

と表す。

定義（純虚数）

実部が \(0\) である複素数 \(z=bi~(b\in\mathbb{R})\) を純虚数という。

共役複素数

虚部の符号が異なる数を共役複素数といいます。

定義（共役複素数）

複素数 \(z=a+bi\) に対し

\[ \overline{z}:=a-bi \]

を \(z\) の共役複素数という。

定理（共役複素数の性質）

\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\) に対し、以下が成り立つ。

  1. \(\overline{(\overline{\alpha})}=\alpha\)
  2. \(\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}\)
  3. \(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}\)
  4. \(\displaystyle\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}\quad (\beta\neq0)\)
  5. \(\operatorname{Re}\alpha=\displaystyle\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{2}\)
  6. \(\operatorname{Im}\alpha=\displaystyle\frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2i}\)
証明

\(\alpha=a+bi,~\beta=c+di\) とする。

  1. \( \begin{align} \overline{(\overline{\alpha})} &= \overline{(\overline{a+bi})} \\ &= \overline{a-bi} \\ &= a+bi \\ &= \alpha \end{align} \)
  2. \( \begin{align} \overline{\alpha\pm\beta} &= \overline{(a+bi)\pm(c+di)} \\ &= \overline{(a \pm c) + (b \pm d)i} \\ &= (a \pm c) - (b \pm d)i \\ &= (a - bi) \pm (c - di) \\ &= \overline{a + bi}\pm\overline{c+di} \\ &= \overline{\alpha}\pm\overline{\beta} \end{align} \)
  3. \( \begin{align} \overline{\alpha\beta} &= \overline{(a+bi)(c+di)} \\ &= \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} \\ &= (ac - bd) - (ad + bc)i \\ &= a(c - di) - b(d + ci) \\ &= a(c - di) - bi(c - di) \\ &= (a - bi)(c - di)\\ &= \overline{a + bi}\cdot\overline{c+di} \\ &= \overline{\alpha}\cdot\overline{\beta} \end{align} \)
  4. \( \begin{align} \overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)} &= \overline{\left(\frac{a+bi}{c+di}\right)} \\ &= \overline{\left(\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)} \\ &= \overline{\left(\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\right)} \\ &= a(c - di) - b(d + ci) \\ &= a(c - di) - bi(c - di) \\ &= (a - bi)(c - di)\\ &= \overline{a + bi}\cdot\overline{c+di} \\ &= \overline{\alpha}\cdot\overline{\beta} \end{align} \)

複素数の絶対値

定義（複素数の絶対値）

複素数 \(z=a+bi\) に対し

\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \]

を \(z\) の絶対値という。

定理（複素数の絶対値の性質）

\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\) に対し、以下が成り立つ。

  1. \(|\alpha|=0\Longleftrightarrow \alpha=0\)
  2. \(|\alpha|=|-\alpha|=|\overline{\alpha}|\)
  3. \(|\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha}\)
  4. \(|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|\)
  5. \(\displaystyle\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|=\frac{|\alpha|}{|\beta|}\quad (\beta\neq0)\)

実数条件と純虚数条件

定理（実数条件と純虚数条件）

複素数 \(z\) が実数となる条件は

\[ z=\overline{z} \]

複素数 \(z\) が純虚数となる条件は

\[ z+\overline{z}=0 \quad\text{かつ}\quad z\neq0 \]