複素べき関数
複素べき関数の定義
実関数でのべき関数は、\(x\neq0\) と \(a\in\mathbb{R}\) に対して
\[
x^a=x^{\log x^a}=x^{a\log x}
\]
と書くことができます。 これをそのまま複素数に拡張して、次のように複素べき関数を定義します。 ただし、複素対数関数が含まれるため、複素べき関数も多価関数となります。
複素数 \(z\neq0\) と \(\alpha\in\mathbb{C}\) に対して
\[
z^\alpha=e^{\alpha\log z}
\]
で定まる多価関数を複素べき関数という。
複素べき関数の計算
例題を解いてみましょう。
次の複素べき関数の値を求めよ。
- \(2^i\)
- \(\sqrt{i}\)
- \(i^i\)
演習問題