ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理
\(n\in\mathbb{Z}\) に対して
\[
(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta+i\sin n\theta
\]
が成り立つ。
ド・モアブルの定理による計算
例題を解いてみましょう。
次の値を求めよ。
- \((1+i)^{10}\)
- \((1-\sqrt{3}i)^5\)
-
\[ \begin{align} (1+i)^{10} &= \left\{\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)\right\}^{10} \\ &= 2^5\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)^{10} \\ &= 32\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^{10} \\ &= 32\left(\cos\frac{10\pi}{4}+i\sin\frac{10\pi}{4}\right) \\ &= 32\left(\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}\right) \\ &= 32\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) \\ &= 32(0+i) \\ &= 32i \end{align} \]
-
\[ \begin{align} (1-\sqrt{3}i)^8 &= \left\{2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right\}^8 \\ &= 2^8\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^8 \\ &= 256\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)^8 \\ &= 256\left(\cos\frac{40\pi}{3}+i\sin\frac{40\pi}{3}\right) \\ &= 256\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right) \\ &= 256\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \\ &= -128-128\sqrt{3}i \end{align} \]
演習問題