オイラーの公式
オイラーの公式
\(e^x\) のマクローリン展開は
\[
e^x = 1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots
\]
となります。 この式に、形式的に \(x=i\theta~(\theta\in\mathbb{R})\) を代入してみます。
\[
\begin{align}
e^{ix} &= 1+\frac{1}{1!}(ix)+\frac{1}{2!}(ix)^2+\frac{1}{3!}(ix)^3+\frac{1}{4!}(ix)^4+\cdots \\
&= 1+ix-\frac{1}{2!}x^2-i\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots \\
&= \left(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots\right)+i\left(x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots\right) \\
\end{align}
\]
ここで、\(\cos x, \sin x\) のマクローリン展開はそれぞれ
\[
\cos x = 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots
\]
\[
\sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots
\]
であることから、次式を得ます。
虚数単位 \(i\) と \(\theta\in\mathbb{R}\) に対して、次が成り立つ。
\[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]
演習問題