極形式

極形式の定義

\(z=a+bi~(a,b\in\mathbb{R})\) は \(|z|=r\) とし、実軸からの回転角を \(\theta\) とすると、下の図のように書けます。

このとき

\[ \cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad \sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

であることから

\[ \begin{align} z&=a+bi \\ &=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right) \\ &=r(\cos\theta+i\sin\theta) \end{align} \]

定義（極形式）

複素数 \(z=a+bi~(a,b\in\mathbb{R})\) に対して、\(\theta=\arctan\dfrac{y}{x}\) とするとき

\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \quad (r\gt0) \]

と表せて、これを \(z\) の極形式という。

偏角

定義（偏角）

複素数 \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta) ~(r\gt0)\) に対して

\[ \theta=\arg z \]

と表し、これを \(z\) の偏角という。

ある１つの偏角を \(\theta\) とすると、一般に

\[ \arg z=\theta+2m\pi \quad (m\in\mathbb{Z}) \]

と表されるため、偏角は範囲を限定することが多いです。例えば、\(-\pi\lt\arg z\le\pi\) や \(0\le\arg z\lt2\pi\) のように制限します。範囲を \(-\pi\lt\arg z\le\pi\) と制限するとき、これを偏角の主値といい、大文字で

\[ \operatorname{Arg}z \]

と書きます。