定理（留数定理）
複素関数 \(f(z)\) は単純閉曲線 \(C\) の内部に \(n\) 個の孤立特異点 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) を持ち、\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) を除いて正則とする。
このとき、次が成り立つ。
\[
\oint_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}_\limits{z=\alpha_k}f(z)
\]
証明
曲線 \(C_\varepsilon\) を \(\alpha\) を中心とする半径 \(\varepsilon\) の小円とする。
曲線の結合 \(C+C_\varepsilon\) の内部で \(\dfrac{f(z)}{z-z_0}\) は正則なので、コーシーの積分定理より
\[
\begin{align}
&\oint_{C+C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 0 \\
\\
&\Longleftrightarrow \quad \oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz + \oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 0
\end{align}
\]
よって
\[
\begin{align}
\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz
&= -\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-\alpha}dz \\
&= \oint_{-C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-\alpha}dz
\end{align}
\]
\(-C_\varepsilon\) をパラメータ表示すると
\[
-C_\varepsilon : z(t)=\alpha+\varepsilon e^{it} \quad (0\le t\le 2\pi)
\]
なので
\[
\begin{align}
\oint_{-C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-\alpha}dz
&= \int_0^{2\pi}\frac{f(\alpha+\varepsilon e^{it})}{\varepsilon e^{it}}\cdot\varepsilon ie^{it}dt \\
&= i\int_0^{2\pi}f(\alpha+\varepsilon e^{it})dt \\
\end{align}
\]
ここで、\(\varepsilon\to0\) とすると
\[
\lim_{\varepsilon\to 0}\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-\alpha}dz=i\int_0^{2\pi}f(\alpha)dt=2\pi if(\alpha)
\]
したがって
\[
\oint_C\frac{f(z)}{z-\alpha}dz=2\pi if(\alpha)
\]
であるから
\[
f(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-\alpha}dz
\]