留数の計算法
\(1\) 位の極における留数
複素関数 \(f(z)\) が \(z=\alpha\) で \(1\) 位の極を持つとき
\[
f(z) = \frac{b_{1}}{z-\alpha} + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n \quad (b_1\neq 0)
\]
と表されます。
両辺に \((z-\alpha)\) を掛けると
\[
(z-\alpha)f(z) = b_{1} + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^{n+1}
\]
ここで、\(z\to\alpha\) とすると
\[
\lim_{z\to\alpha}(z-\alpha)f(z) = b_{1} + 0
\]
\(b_1\) が求める留数なので、\(f(z)\) が \(z=\alpha\) に \(1\) 位の極を持つとき
\[
\operatorname{Res}_\limits{z=\alpha}f(z) = \lim_{z\to\alpha}(z-\alpha)f(z)
\]
となります。
\(2\) 位の極における留数
複素関数 \(f(z)\) が \(z=\alpha\) で \(2\) 位の極を持つとき
\[
f(z) = \frac{b_{2}}{(z-\alpha)^2} + \frac{b_{1}}{z-\alpha} + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n \quad (b_2\neq 0)
\]
と表されます。
両辺に \((z-\alpha)^2\) を掛けると
\[
(z-\alpha)^2f(z) = b_{1}(z-\alpha) + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^{n+2}
\]
両辺を \(z\) で微分すると
\[
\frac{d}{dz}\left\{(z-\alpha)^2f(z)\right\} = b_{1} + \sum_{n=0}^\infty a_n(n+2)(z-\alpha)^{n+1}
\]
ここで、\(z\to\alpha\) とすると
\[
\lim_{z\to\alpha}\frac{d}{dz}\left\{(z-\alpha)^2f(z)\right\} = b_{1} + 0
\]
\(b_1\) が求める留数なので、\(f(z)\) が \(z=\alpha\) に \(2\) 位の極を持つとき
\[
\operatorname{Res}_\limits{z=\alpha}f(z) = \lim_{z\to\alpha}\frac{d}{dz}\left\{(z-\alpha)^2f(z)\right\}
\]
となります。
\(3\) 位の極における留数
複素関数 \(f(z)\) が \(z=\alpha\) で \(3\) 位の極を持つとき
\[
f(z) = \frac{b_{3}}{(z-\alpha)^3} + \frac{b_{2}}{(z-\alpha)^2} + \frac{b_{1}}{z-\alpha} + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n \quad (b_3\neq 0)
\]
と表されます。
両辺に \((z-\alpha)^3\) を掛けると
\[
(z-\alpha)^3f(z) = b_2(z-\alpha) + b_1(z-\alpha)^2 + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^{n+3}
\]
両辺を \(z\) で微分すると
\[
\frac{d}{dz}\left\{(z-\alpha)^3f(z)\right\} = b_2 + 2b_1(z-\alpha) + \sum_{n=0}^\infty a_n(n+3)(z-\alpha)^{n+2}
\]
両辺を \(z\) でもう一度微分すると
\[
\frac{d^2}{dz^2}\left\{(z-\alpha)^3f(z)\right\} = 2b_1 + \sum_{n=0}^\infty a_n(n+3)(n+2)(z-\alpha)^{n+1}
\]
ここで、\(z\to\alpha\) とすると
\[
\lim_{z\to\alpha}\frac{d^2}{dz^2}\left\{(z-\alpha)^3f(z)\right\} = 2b_{1} + 0
\]
\(b_1\) が求める留数なので、\(f(z)\) が \(z=\alpha\) に \(3\) 位の極を持つとき
\[
\operatorname{Res}_\limits{z=\alpha}f(z) = \lim_{z\to\alpha}\frac{1}{2}\frac{d^2}{dz^2}\left\{(z-\alpha)^3f(z)\right\}
\]
となります。
\(k\) 位の極における留数
一般に、\(f(z)\) が \(z=\alpha\) に \(k\) 位の極を持つとき、\(z=\alpha\) における留数は次のようになります。
定理（留数の計算法）
複素関数 \(f(z)\) が \(z=\alpha\) で \(k\) 位の極を持つとき
\[
\operatorname{Res}_\limits{z=\alpha}f(z) = \lim_{z\to\alpha}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left\{(z-\alpha)^kf(z)\right\}
\]
証明
\(f(z)\) が \(z=\alpha\) で \(k\) 位の極を持つとき
\[
f(z) = \sum_{n=k}^\infty\frac{b_n}{(z-\alpha)^n} + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n \quad (b_k\neq 0)
\]
と表される。
両辺に \((z-\alpha)^k\) を掛けると
\[
(z-\alpha)^kf(z) = \sum_{n=k}^\infty\frac{b_n}{(z-\alpha)^{n-k}} + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^{n+k}
\]
両辺を \(z\) で \(k-1\) 回微分すると
\[
\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left\{(z-\alpha)^kf(z)\right\} = (k-1)!b_{1} + \sum_{n=0}^\infty a_ng(n)(z-\alpha)^{n+1}
\]
ここで、\(z\to\alpha\) とすると
\[
\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left\{(z-\alpha)^kf(z)\right\} = (k-1)!b_{1} + 0
\]
\(b_1\) が求める留数なので、\(f(z)\) が \(z=\alpha\) に \(k\) 位の極を持つとき
\[
\operatorname{Res}_\limits{z=\alpha}f(z) = \lim_{z\to\alpha}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left\{(z-\alpha)^kf(z)\right\}
\]