複素数列とその極限

複素数列

無限個の複素数を並べたもの

\[ z_1,z_2,\cdots,z_n,\cdots \]

を複素数列といい、\(\{z_n\}\) と表します。 複素数列 \(\{z_n\}\) を構成する \(n\) 番目の項 \(z_n\) を第 \(n\) 項といい、特に最初の項 \(z_1\) を初項といいます。

複素数列の収束

複素数列 \(\{z_n\}\) に対して、\(n\) が大きくなるにつれて、ある複素数 \(\alpha\) に限りなく近づくとき、\(\{z_n\}\) は \(\alpha\) に収束するといいます。 実数列のときと同様に、厳密にはイプシロン・エヌ論法によって次のように定義されます。

定義（複素数列の収束）

任意の \(\varepsilon\gt0\) に対して、ある自然数 \(N\) が存在して、\(n\ge N\) となるすべての自然数 \(n\) で

\[ |z_n-\alpha|\lt\varepsilon \]

となるとき、\(\{z_n\}\) は \(\alpha\) に収束するといい

\[ \lim_{n\to\infty}z_n=\alpha ~~~\text{または}~~~ z_n\to\alpha~(n\to\infty) \]

と表す。 また、この \(\alpha\) を \(\{z_n\}\) の極限という。

複素数列を実部と虚部に分解することにより、次が成り立ちます。

定理（実数列のよる複素数列の収束）

複素数列 \(\{z_n\}\) の一般項が、実数列 \(\{x_n\},\{y_n\}\) を用いて

\[ z_n=x_n+iy_n \]

と表されるとき

\[ \lim_{n\to\infty}z_n=\lim_{n\to\infty}x_n+i\lim_{n\to\infty}y_n \]

が成り立つ。

上記の定理により、複素数列の極限は、実部と虚部のそれぞれの実数列の極限を考えればよく、実数列の極限の知識をそのまま使うことができます。

演習問題

問題
解答