導関数

導関数の定義

定義（導関数）

関数 \(f(x)\) が開区間 \(I\) 上で微分可能であるとき \[ f'(x)=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x} \] で定まる関数 \(f'\) を \(f\) の導関数という。

導関数 \(f'(x)\) は \(y=f(x)\) のとき \[ y',~~~\frac{dy}{dx},~~~\frac{d}{dx}f(x),~~~\frac{df}{dx}(x),~~~\{f(x)\}' \] などとも書かれます。

導関数の性質

定理（導関数の性質）

関数 \(f(x),~g(x)\) が微分可能であるとき

  1. \(\{kf(x)+lg(x)\}'=kf'(x)+lg'(x)~~~(k,l\in\mathbb{R})\)
  2. \(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
  3. \(\displaystyle\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}~~~(g(x)\neq0)\)
証明
  1. \( \begin{align} &\{kf(x)+lg(x)\}'\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\{kf(x+h)+lg(x+h)\}-\{kf(x)+lg(x)\}}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\left\{k\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+l\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}\\ &=kf'(x)+lg'(x) \end{align} \)
  2. \( \begin{align} &\{f(x)g(x)\}'\\ &=\lim_{h\to0}\frac{kf(x+h)g(x+h)-kf(x)g(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}+\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\}}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}\\ &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align} \)
  3. \( \begin{align} &\displaystyle\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'\\ &=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left\{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right\}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{1}{g(x+h)g(x)}\cdot\frac{\{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)\}-\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\}}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{1}{g(x+h)g(x)}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)-f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}\\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{align} \)

合成関数の微分法

定理（合成関数の微分法）

\(y=f(x)\) が \(x\) で微分可能であり、\(z=g(y)\) が \(y\) で微分可能であるならば、合成関数 \(z=g(f(x))\) も \(x\) で微分可能で \[ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} \] が成り立つ。

逆関数の微分法

定理（合成関数の微分法）

開区間 \((a,b)\) で \(y=f(x)\) が微分可能で \(f'(x)\neq0\) ならば、\(x=f^{-1}(y)\) は開区間 \((f(a),f(b))\)（または \((f(b),f(a))\)）で微分可能で \[ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} \] が成り立つ。

冪関数の導関数

定理（冪関数の導関数）
\[ (x^n)'=nx^{n-1} \]
証明

三角関数の導関数

定理（三角関数の導関数）
\[ (\sin x)'=\cos x,~~~(\cos x)'=-\sin x,~~~(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} \]
証明

指数関数の導関数

定義（指数関数の導関数）
\[ (e^x)'=e^x,~~~(a^x)'=a^x\log a \]
証明

対数関数の導関数

定義（対数関数の導関数）
\[ (\log x)'=\frac{1}{x},~~~(\log|x|)'=\frac{1}{x} \]
証明

双曲線関数の導関数

定義（双曲線関数の導関数）
\[ (\cosh x)'=\sinh x,~~~(\sinh x)'=\cosh x,~~~(\tanh x)'=\frac{1}{\cosh^2x} \]
証明

演習問題

問題１

\(f(x)=\log(\sin x)\) の導関数 \(f'(x)\) を導関数の定義に従って求めよ。
ただし、\(\displaystyle\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{x}}=1\) は用いてよい。

解答
\[ \begin{align} f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\log\{\sin(x+h)\}-\log(\sin x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\log(\sin x\cos h+\cos x\sin h)-\log(\sin x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\log\left(\cos h+\frac{\sin h}{\tan x}\right)\\ &=\lim_{h\to0}\log\left(\cos h+\frac{\sin h}{\tan x}\right)^{\frac{1}{h}}\\ &=\lim_{h\to0}\log\left\{\cos h\left(1+\frac{\tan h}{\tan x}\right)\right\}^{\frac{1}{h}}\\ &=\lim_{h\to0}\left[\log(\cos h)^\frac{1}{h}+\log\left(1+\frac{\tan h}{\tan x}\right)^{\frac{1}{h}}\right]\\ &=\lim_{h\to0}\left[\log(\cos h)^\frac{1}{h}+\log\left\{\left(1+\frac{\tan h}{\tan x}\right)^{\frac{\tan x}{\tan h}}\right\}^{\frac{\tan h}{h}\frac{1}{\tan x}}\right]\\ &=\log(1)+\log(e)^{1\cdot\frac{1}{\tan x}}\\ &=\frac{1}{\tan x} \end{align} \]

問題２

次の関数を微分せよ。

解答