微分係数

微分係数の定義

まず、微分とは、ある点における傾きを求める操作です。

\(f(x)\) を区間 \(I\) 上の関数とし、ある点 \(a\in I\) を考えます。
このとき、\(x\) の値が \(a\) から \(\varDelta x\) だけ変化すると
\(y=f(x)\) の値の変化 \(\varDelta y\) は \[ \varDelta y=f(a+\varDelta x)-f(a) \] となります。
このときの平均変化率（平均の傾き）は次式で表されます。 \[ \frac{\varDelta y}{\varDelta x}=\frac{f(a+\varDelta x)-f(a)}{\varDelta x} \] ここで、\(\varDelta x\) を限りなく \(0\) に近づけていくと、\(\displaystyle\frac{\varDelta y}{\varDelta x}\) は \(x=a\) における接線の傾きに近づいていきます。
この接線の傾きを微分係数といい、次のように定義します。

微分係数 \(f'(a)\) は \[ \frac{df}{dx}(a),~~~\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a} \] などとも書かます。

微分可能性

微分係数 \(f'(1)\) が存在するか問われています。すなわち、極限 \[ \lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(1+\varDelta x)-f(1)}{\varDelta x} \] の存在を調べます。
関数の極限が存在するのは、右側極限と左側極限が存在して一致するときでした。

＜解答＞
\[ \begin{align} \lim_{\varDelta x\to+0}\frac{f(1+\varDelta x)-f(1)}{\varDelta x} &=\lim_{\varDelta x\to+0}\frac{|\varDelta x|-0}{\varDelta x}\\ &=\lim_{\varDelta x\to+0}\frac{\varDelta x}{\varDelta x}\\ &=1 \end{align} \] \[ \begin{align} \lim_{\varDelta x\to-0}\frac{f(1+\varDelta x)-f(1)}{\varDelta x} &=\lim_{\varDelta x\to-0}\frac{|\varDelta x|-0}{\varDelta x}\\ &=\lim_{\varDelta x\to+0}\frac{-\varDelta x}{\varDelta x}\\ &=-1 \end{align} \] よって、\(\varDelta x\to+0\) と \(\varDelta x\to-0\) の極限が一致しないので、\(f'(1)\) は存在しない。したがって、\(f(x)\) は \(x=1\) で微分可能ではない。

微分可能であるための必要十分条件は以下のようになります。

演習問題