２変数関数の極値

２変数関数の極値の定義

定義（2変数関数の極値）

2変数関数 \(f(x,y)\) がある点 \((a,b)\) の \(\epsilon\)-近傍

\[ U_\epsilon(a,b)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~\left|~\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\lt\epsilon\right.\right\} \]

において

\[ f(a,b)\gt f(x,y) \]

を満たすとき、\(f\) は点 \((a,b)\) で極大であるといい、\(f(a,b)\) を極大値という。

また、\(U_\epsilon(a,b)\) において

\[ f(a,b)\lt f(x,y) \]

を満たすとき、\(f(x,y)\) は点 \((a,b)\) で極小であるといい、\(f(a,b)\) を極小値という。

極値をもつ必要条件

定理（極値をもつ必要条件）

関数 \(f(x,y)\) が点 \((a,b)\) において極値をもつならば

\[ f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 \]

が成り立つ。 このときの点 \((a,b)\) を停留点（臨界点）という。

極値判定

\(f(x,y)\) を点 \((a,b)\) で2次までテイラー展開すると

\[ \begin{align} f(x,y)=&f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\\ &+\frac{1}{2}\{f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\}+R_3 \end{align} \]

点 \((a,b)\) が停留点であるとき

\[ f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 \]

であるから

\[ f(x,y)=f(a,b)+\frac{1}{2}\{f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\}+R_3 \]

が成り立つ。 ここで

\[ \begin{align} &f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\\ &=f_{xx}(a,b)\left\{\left((x-a)+\frac{f_{xy}(a,b)}{f_{xx}(a,b)}(y-b)\right)^2+\frac{f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\{f_{xy}(a,b)\}^2}{\{f_{xx}(a,b)\}^2}(x-a)^2\right\} \end{align} \]

であるから

\(f_{xx}(a,b)\gt0\) かつ \(f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\{f_{xy}(a,b)\}^2\gt0\) のとき \(f(a,b)\lt f(x,y)\)

\(f_{xx}(a,b)\lt0\) かつ \(f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\{f_{xy}(a,b)\}^2\gt0\) のとき \(f(a,b)\gt f(x,y)\)

\(f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\{f_{xy}(a,b)\}^2\lt0\) のとき、\(x-a,~y-b\) の値によって \(f(x,y)-f(a,b)\) の符号が変化する。

このことから次のことがいえる。

定理（ヘッセ行列）

\(C^2\) 級関数 \(f(x,y)\) に対して、行列

\[ H_f(a,b)=\begin{bmatrix} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{xy}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{bmatrix} \]

を \(f(x,y)\) のヘッセ行列という。

また、ヘッセ行列の行列式

\[ \det H_f(a,b)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^2 \]

をヘッシアンという。

定理（極値判定）

関数 \(f(x,y)\) の停留点 \((a,b)\) に対して

  1. \(\det H_f(a,b)\gt0\) かつ \(f_{xx}(a,b)\gt0\) のとき、\(f(a,b)\) は極小値である
  2. \(\det H_f(a,b)\gt0\) かつ \(f_{xx}(a,b)\lt0\) のとき、\(f(a,b)\) は極大値である
  3. \(\det H_f(a,b)\lt0\) のとき、\((a,b)\) で極値をもたない
例題

\(f(x,y)=xye^{x+y}\) の極値を求めよ。

解答
\[ f_x(x,y)=(x+1)ye^{x+y},~~f_y(x,y)=x(y+1)e^{x+y} \] \[ f_{xx}(x,y)=(x+2)ye^{x+y},~~f_{xy}(x,y)=(x+1)(y+1)e^{x+y},~~f_{yy}(x,y)=x(y+2)e^{x+y} \]

であり

\[ f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 \]

とすると、停留点は

\[ (x,y)=(0,0),(-1,-1) \]

である。

\[ H_f(0,0)=\begin{bmatrix} f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0) \\ f_{xy}(0,0) & f_{yy}(0,0) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \] \[ H_f(-1,-1)=\begin{bmatrix} f_{xx}(-1,-1) & f_{xy}(-1,-1) \\ f_{xy}(-1,-1) & f_{yy}(-1,-1) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\frac{1}{e^2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{e^2} \end{bmatrix} \]

であるから

\(\det H_f(0,0)=-1\lt0\) より、点 \((0,0)\) は鞍点である。

\(\det H_f(-1,-1)=\displaystyle\frac{1}{e^4}\gt0\) かつ \(f_{xx}(-1,-1)=-\displaystyle\frac{1}{e^2}\lt0\) より、\(f(x,y)\) は点 \((-1,-1)\) で極大値 \(f(-1,-1)=\displaystyle\frac{1}{e^2}\) をとる。