対数微分法

次のような関数を微分したい。 \[ y=\sqrt[3]{\frac{(x-2)^2}{(x-1)^4(x^2+1)}} \] これは複雑な合成関数であり、このまま計算するのは大変である。

そこで、対数を利用する。対数には \[ \log_aMN=\log_aM+\log_aN \] \[ \log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN \] \[ \log_aM^k=k\log_aM \] のように、積を和、商を差、\(k\) 乗を \(k\) 倍できる性質がある。

関数 \(y=f(x)\) に対して、両辺の絶対値の自然対数をとると \[ \log|y|=\log|f(x)| \] 両辺を \(x\) について微分すると \[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{f'(x)}{f(x)} \] したがって \[ \frac{dy}{dx}=\frac{f'(x)}{f(x)}\times y \] となる。

実際にこの方法を用いて、先ほどの関数 \[ y=\sqrt[3]{\frac{(x-2)^2}{(x^3+1)^4(x^2+1)}} \] を微分してみる。

両辺の絶対値の自然対数をとると \[ \begin{align} \log|y|&=\log\left|\sqrt[3]{\frac{(x-2)^2}{(x-1)^4(x^2+1)}}\right|\\ &=\frac{1}{3}\left\{2\log|x-2|-4\log|x-1|-\log|x^2+1|\right\} \end{align} \] 両辺を \(x\) について微分すると \[ \begin{align} \frac{y'}{y}&=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x-2}-\frac{4}{x-1}-\frac{2x}{x^2+1}\right)\\ &=\frac{1}{3}\cdot\frac{2(x-1)(x^2+1)-4(x-2)(x^2+1)-2x(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)(x^2+1)}\\ &=\frac{1}{3}\cdot\frac{}{(x-2)(x-1)(x^2+1)} \end{align} \]