合成関数の偏微分
定理（合成関数の偏微分１）
関数 \(z=f(x,y)\) は全微分可能であるとする。
\(x=\varphi(t),~y=\psi(t)\) が \(t\) について微分可能ならば、合成関数
\[
z=f(\varphi(t),\psi(t))
\]
は \(t\) について微分可能で、次式が成り立つ。
\[
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}
\]
定理（合成関数の偏微分２）
関数 \(z=f(x,y)\) は全微分可能であるとする。
\(x=\varphi(u,v),~y=\psi(u,v)\) が偏微分可能ならば、合成関数
\[
z=f(\varphi(u,v),\psi(u,v))
\]
は偏微分可能で、次式が成り立つ。
\[
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial u}
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial v}
\]
演習問題
問題
\(z=e^{2xy}\) として、\(x=u\cos v,~y=u\sin v\) とする。\(z_u,z_v\) を求めよ。
解答
\[
\begin{align}
z_u&=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial u}\\
&=2ye^{2xy}\cdot\cos v+2xe^{2xy}\cdot\sin v\\
&=2(y\cos v+x\sin v)e^{2xy}\\
&=2(u\sin v\cos v+u\cos v\sin v)e^{2u\cos v\cdot u\sin v}\\
&=2ue^{u^2\sin{2v}}\sin{2v}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
z_v&=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial v}\\
&=2ye^{2xy}\cdot(-u\sin v)+2xe^{2xy}\cdot u\cos v\\
&=2ue^{2xy}(x\cos v-y\sin v)\\
&=2ue^{2u\cos v\cdot u\sin v}(u\cos v\cdot\cos v-u\sin v\cdot\sin v)\\
&=2u^2e^{u^2\sin{2v}}\cos{2v}
\end{align}
\]