偏微分係数と偏導関数

偏微分係数の定義

定義（偏微分係数）
2変数関数 \(f(x,y)\) に対して、極限 \[ f_x(a,b):=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(a+\varDelta x,b)-f(a,b)}{\varDelta x} \] が存在すれば、\(f\) は点 \((a,b)\) において \(x\) について偏微分可能であるといい、この極限値を \(f\) の点 \((a,b)\) における \(x\) についての偏微分係数という。

同様に、極限 \[ f_y(a,b):=\lim_{\varDelta y\to0}\frac{f(a,b+\varDelta y)-f(a,b)}{\varDelta y} \] が存在すれば、\(f\) は点 \((a,b)\) において \(y\) について偏微分可能であるといい、この極限値を \(f\) の点 \((a,b)\) における \(y\) についての偏微分係数という。

\(f_x(a,b)\) は曲面 \(z=f(x,y)\) を、平面 \(y=b\) で切ったときの切り口の曲線上の点 \((a,b,f(a,b))\) における接線の傾きを表す。

偏導関数の定義

定義（偏導関数）
領域 \(D\) 上の関数 \(f(x,y)\) が \(D\) 上の各点 \((x,y)\) で \(x\) について偏微分可能であるとき \[ f_x(x,y)=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(x+\varDelta x,y)-f(x,y)}{\varDelta x} \] で定まる関数 \(f_x\) を \(f\) の \(x\) についての偏導関数という。

また、\(y\) についての偏導関数 \(f_y\) も同様に定義する。

偏導関数 \(f_x(x,y)\) は \(z=f(x,y)\) のとき \[ \frac{\partial z}{\partial x},~~~\frac{\partial}{\partial x}f(x,y),~~~\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \] などとも書かれる。

演習問題

問題
次の関数を偏微分せよ。
  1. \(f(x,y)=x^3+xy^2+y\)
  2. \(f(x,y)=\displaystyle\frac{2xy^2+3x^2y}{x^2-y^2}\)
  3. \(f(x,y)=\log(\sin x+\cos y)\)
  4. \(f(x,y)=\arctan(xy)\)
  5. \(f(x,y)=\sqrt{\arcsin{x}\arccos y}\)
  6. \(f(x,y)=e^{xy}\log(x^2+y^2)\)
解答
  1. \(f_x(x,y)=-\frac{\sin y}{\sin x+\cos y},~~f_y(x,y)=\frac{\cos x}{\sin x+\cos y}\)