偏微分係数と偏導関数

偏微分係数

定義（偏微分係数）

2変数関数 \(f(x,y)\) に対して、極限

\[ \lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(a+\varDelta x,b)-f(a,b)}{\varDelta x} \]

が存在するとき、\(f\) は点 \((a,b)\) で \(x\) に関して偏微分可能であるという。このとき、その値を

\[ f_x(a,b),\quad \frac{\partial f}{\partial x}(a,b),\quad \frac{\partial}{\partial x}f(a,b) \]

などと書き、\(f\) の点 \((a,b)\) における \(x\) に関する偏微分係数という。

同様に、極限

\[ \lim_{\varDelta y\to0}\frac{f(a,b+\varDelta y)-f(a,b)}{\varDelta y} \]

が存在するとき、\(f\) は点 \((a,b)\) で \(y\) に関して偏微分可能であるという。このとき、その値を

\[ f_y(a,b),\quad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b),\quad \frac{\partial}{\partial y}f(a,b) \]

などと書き、\(f\) の点 \((a,b)\) における \(y\) に関する偏微分係数という。

また、\(f_x(a,b)\) と \(f_y(a,b)\) がともに存在するとき、\(f\) は点 \((a,b)\) で偏微分可能であるという。

\(f_x(a,b)\) は曲面 \(z=f(x,y)\) を、平面 \(y=b\) で切ったときの切り口の曲線上の点 \((a,b,f(a,b))\) における接線の傾きを表す。

例題

関数 \(f(x,y)=x^2y+y^3\) の点 \((2,1)\) における偏微分係数を求めよ。

\(x\) に関して

\[ \begin{align} \lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(2+\varDelta x,1)-f(2,1)}{\varDelta x} &=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{(\varDelta x^2+4\varDelta x+5)-5}{\varDelta x}\\ &=\lim_{\varDelta x\to0}(\varDelta x+4)\\ &=4 \end{align} \]

よって、\(f\) は点 \((2,1)\) で \(x\) に関して偏微分可能で \(f_x(2,1)=4\)

\(y\) に関して

\[ \begin{align} \lim_{\varDelta y\to0}\frac{f(2,1+\varDelta y)-f(2,1)}{\varDelta y} &=\lim_{\varDelta y\to0}\frac{(\varDelta y^3+3\varDelta y^2+7\varDelta y+5)-5}{\varDelta y}\\ &=\lim_{\varDelta y\to0}(\varDelta y^2+3\varDelta y+7)\\ &=7 \end{align} \]

よって、\(f\) は点 \((2,1)\) で \(y\) に関して偏微分可能で \(f_x(2,1)=7\)

偏導関数

定義（偏導関数）

関数 \(f(x,y)\) が領域 \(D\) 上の各点 \((x,y)\) で \(x\) に関して偏微分可能であるとき、\(f\) は \(D\) 上で \(x\) に関して偏微分可能であるという。このとき

\[ f_x(x,y)=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(x+\varDelta x,y)-f(x,y)}{\varDelta x} \]

で定まる関数 \(f_x\) を \(f\) の \(x\) に関する偏導関数という。

また、\(y\) についての偏導関数 \(f_y\) も同様に定義する。

偏導関数 \(f_x(x,y)\) は \(z=f(x,y)\) のとき \[ \frac{\partial z}{\partial x},~~~\frac{\partial}{\partial x}f(x,y),~~~\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \] などとも書かれる。

演習問題

問題

次の関数を偏微分せよ。

\(f(x,y)=x^3+xy^2+y\)
\(f(x,y)=\displaystyle\frac{2xy^2+3x^2y}{x^2-y^2}\)
\(f(x,y)=\log(\sin x+\cos y)\)
\(f(x,y)=\arctan(xy)\)
\(f(x,y)=\sqrt{\arcsin{x}\arccos y}\)
\(f(x,y)=e^{xy}\log(x^2+y^2)\)

解答

\(f_x(x,y)=-\frac{\sin y}{\sin x+\cos y},~~f_y(x,y)=\frac{\cos x}{\sin x+\cos y}\)