ベルヌーイの微分方程式

ベルヌーイの微分方程式とは

\[ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n~~~(n\neq0,1) \] のように、1階線形微分方程式の右辺に \(y^n\) が掛けられたものをベルヌーイの微分方程式という。

ベルヌーイの微分方程式の解法

両辺に \(y^{-n}\) を掛けると \[ y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \] \(z=y^{1-n}\) とおくと \(\displaystyle\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\) であるから \[ \frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x) \] \[ \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) \] これは1階線形微分方程式である。

演習問題

問題
次の微分方程式を解け。
  1. \(\displaystyle\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=x^2y^3\)
  2. \(\displaystyle\frac{dy}{dx}-y=e^xy^2\)