完全微分方程式
完全微分方程式とは
2変数関数の1階微分方程式
\[
P(x,y)+Q(x,y)\frac{dy}{dx}=0
\]
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}
\]
この式を微分形式で書き直すと
\[
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
\]
となる。ここで全微分を思い出そう。
ある2変数関数 \(f(x,y)\) の全微分は
\[
df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy
\]
と定義されるのであった。この式と比較すると
\[
P(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x},~~~Q(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}
\]
となれば
\[
df=0
\]
となり、微分方程式が解けそうである。つまり
\[
P(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x},~~~Q(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}
\]
となる関数 \(f\) が存在すれば
\[
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
\]
が解くことができ、このときこれは完全微分方程式と呼ばれる。
完全微分方程式であるための条件
前項で
\[
P(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x},~~~Q(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}
\]
となる関数 \(f\) が存在すれば
\[
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
\]
は完全微分方程式となることを述べたが、関数 \(f\) が存在するかどうかをどのように判定するか。ここで、次の定理を利用する。
定理（完全微分方程式となる必要十分条件）
\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\) が完全微分方程式となる必要十分条件は
\[
\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}
\]
が成り立つことである。
この式を満たせば
\[
P(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x},~~~Q(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}
\]
となる関数 \(f\) が存在する。
例題
例題
次の微分方程式を解け。
\[
(2xy+3)dx+(x^2+4y)dy=0
\]
まず、微分方程式の形を確認する。
\[
\frac{\partial}{\partial y}(2xy+3)=2x,~~~\frac{\partial}{\partial x}(x^2+4y)=2x
\]
より
\[
\frac{\partial}{\partial y}(2xy+3)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+4y)
\]
であるから完全微分方程式である。
よって
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+3\cdots\text{①},~~~\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+4y\cdots\text{②}
\]
となる関数 \(f(x,y)\) が存在する。
①の両辺を \(x\) で積分すると
\[
f(x,y)=\int(2xy+3)dx=x^2y+3x+C(y)
\]
これと②より
\[
\frac{\partial}{\partial y}\{x^2y+3x+C(y)\}=x^2+4y
\]
\[
\begin{align}
&\Longleftrightarrow x^2+C'(y)=x^2+4y\\
&\Longleftrightarrow C'(y)=4y
\end{align}
\]
よって
\[
C(y)=\int 4ydy=2y^2+C_1
\]
したがって
\[
f(x,y)=x^2y+3x+2y^2+C_1
\]
よって
\[
df=0
\]
より、求める解は
\[
x^2y+3x+2y^2=C
\]
演習問題
問題
次の微分方程式を解け。
- \((3x^2y+2y)dx+(x^3+2x+\cos y)dy=0\)
- \(\displaystyle\left(\frac{y}{x}+1\right)dx+(\log x)dy=0\)
解答
- \[ \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y+2y)=3x^2+2,~~~\frac{\partial}{\partial x}(x^3+2x+\cos y)=3x^2+2 \] より \[ \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y+2y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^3+2x+\cos y) \] であるから完全微分方程式である。 よって \[ \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2y+2y\cdots\text{①},~~~\frac{\partial f}{\partial y}=x^3+2x+\cos y\cdots\text{②} \] となる関数 \(f(x,y)\) が存在する。 ①の両辺を \(x\) で積分すると \[ f(x,y)=\int(3x^2y+2y)dx=x^3y+2xy+C(y) \] これと②より \[ \frac{\partial}{\partial y}\{x^3y+2xy+C(y)\}=x^3+2x+\cos y \] \[ \begin{align} &\Longleftrightarrow x^3+2x+C'(y)=x^3+2x+\cos y\\ &\Longleftrightarrow C'(y)=\cos y \end{align} \] よって \[ C(y)=\int\cos ydy=\sin y+C_1 \] したがって \[ f(x,y)=x^3y+2xy+\sin y+C_1 \] よって \[ df=0 \] より、求める解は \[ x^3y+2xy+\sin y=C \]
- 真数条件より \(x\gt0\) である。 \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}+1\right)=\frac{1}{x},~~~\frac{\partial}{\partial x}(\log x)=\frac{1}{x} \] より \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}+1\right)=\frac{\partial}{\partial x}(\log x) \] であるから完全微分方程式である。 よって \[ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{x}+1\cdots\text{①},~~~\frac{\partial f}{\partial y}=\log x\cdots\text{②} \] となる関数 \(f(x,y)\) が存在する。 ①の両辺を \(x\) で積分すると、\(x\gt0\) より \[ f(x,y)=\int\left(\frac{y}{x}+1\right)dx=y\log x+x+C(y) \] これと②より \[ \frac{\partial}{\partial y}\{y\log x+x+C(y)\}=\log x \] \[ \begin{align} &\Longleftrightarrow \log x+C'(y)=\log x\\ &\Longleftrightarrow C'(y)=0 \end{align} \] よって \[ C(y)=\int0dy=C_1 \] したがって \[ f(x,y)=y\log x+x+C_1 \] よって \[ df=0 \] より、求める解は \[ y\log x+x=C \]