1階線形微分方程式

\[ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \] のように、\(y\) と \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) の1次式で表される微分方程式を、1階線形微分方程式という。

また \(Q(x)=0\) のとき、1階線形同次微分方程式といい、\(Q(x)\neq0\) のとき、1階線形非同次微分方程式という。

同次微分方程式 \[ \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \] を考える。 \[ \frac{dy}{dx}=-P(x)y \] より、これは変数分離形である。 \(y\neq0\) のとき \[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-P(x) \] 両辺を \(x\) について積分すると \[ \begin{align} \int\frac{1}{y}dy&=-\int P(x)dx\\ \log|y|&=-\int P(x)dx+C_1\\ y&=Ce^{-\int P(x)dx}\\ \end{align} \]

1階線形同次微分方程式 \[ \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \] の一般解は前項より \[ y=Ce^{-\int P(x)dx} \] であった。

1階線形非同次微分方程式 \[ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\cdots\text{①} \] においても似たような解を持つと考える。

①の一般解として、\(C\) が \(x\) の関数であると仮定し \[ y=C(x)e^{-\int P(x)dx} \] とおく。このとき \[ \frac{dy}{dx}=C'(x)e^{-\int P(x)dx}-C(x)P(x)e^{-\int P(x)dx} \] となるので、①に代入すると \[ C'(x)e^{-\int P(x)dx}-C(x)P(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x) \] よって \[ C'(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x) \] \[ C'(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx} \] \[ C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C \] したがって \[ y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)e^{-\int P(x)dx} \]

1階線形微分方程式は両辺に \(e^{\int P(x)dx}\) を掛けても解くことができる。 \[ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \] の両辺に \(\displaystyle e^{\int P(x)dx}\) を掛けると \[ \frac{dy}{dx}e^{\int P(x)dx}+P(x)ye^{\int P(x)dx}=Q(x)e^{\int P(x)dx} \] \[ \frac{dy}{dx}e^{\int P(x)dx}+y\frac{d}{dx}\left(e^{\int P(x)dx}\right)=Q(x)e^{\int P(x)dx} \] 積の導関数の公式より \[ \frac{d}{dx}\left(ye^{\int P(x)dx}\right)=Q(x)e^{\int P(x)dx} \] 両辺を \(x\) で積分すると \[ ye^{\int P(x)dx}=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C \] よって \[ y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)e^{-\int P(x)dx} \]