同次形

同次形とは

\[ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right) \] の形をした微分方程式を同次形という。

同次形の解法

\[ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right) \] において \(\displaystyle\frac{y}{x}=u\) とおくと、\(y=ux\) であり \[ \frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u \] であるから \[ x\frac{du}{dx}+u=f(u) \] よって \[ \frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x} \] これは変数分離形である。

演習問題

問題
次の微分方程式を解け。
  1. \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\)
  2. \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{y+xe^{\frac{y}{x}}}{x}\)
解答
  1. \[ \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y} \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}} \] \(y=ux\) とおくと、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\) であり \[ x\frac{du}{dx}+u=\frac{1+u}{1-u} \] \[ x\frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}-u \] \[ x\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{1-u} \] \[ \frac{1-u}{1+u^2}\frac{du}{dx}=\frac{1}{x} \] 両辺を \(x\) で積分すると \[ \int\frac{1-u}{1+u^2}du=\int\frac{1}{x}dx \] \[ \begin{align} (\text{左辺})&=\int\frac{1}{1+u^2}du-\int\frac{u}{1+u^2}du\\ &=\arctan u-\frac{1}{2}\int\frac{(1+u^2)'}{1+u^2}du\\ &=\arctan u-\frac{1}{2}\log(1+u^2)+C_1 \end{align} \] \[ (\text{右辺})=\log|x|+C_2 \] よって \[ \arctan u-\frac{1}{2}\log(1+u^2)+C_1=\log|x|+C_2 \] \[ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\log\left\{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right\}=\log|x|+C \]
  2. \[ \frac{dy}{dx}=\frac{y+xe^{\frac{y}{x}}}{x} \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+e^{\frac{y}{x}} \] \(y=ux\) とおくと、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\) であり \[ x\frac{du}{dx}+u=u+e^{u} \] \[ x\frac{du}{dx}=e^u \] \[ e^{-u}\frac{du}{dx}=\frac{1}{x} \] 両辺を \(x\) で積分すると \[ \int e^{-u}du=\int\frac{1}{x}dx \] \[ -e^{-u}=\log|x|+C_1 \] \[ e^{-u}=-\log|x|+C \] \[ -u=\log(-\log|x|+C) \] \[ \frac{y}{x}=-\log(-\log|x|+C) \] \[ y=-x\log(-\log|x|+C) \]