同次形

同次形とは

\[ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right) \]

の形をした微分方程式を同次形といいます。

同次形の解法

同次形の微分方程式は、次の手順で解くことができます。

解法（同次形）
\[ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right) \]
  1. \(\dfrac{y}{x}=u~~(y=ux)\) とおく。
    \[ \begin{align} &\frac{d}{dx}(ux)=f(u)\\ \\ &\Longleftrightarrow \quad x\frac{du}{dx}+u=f(u)\\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x} \end{align} \]
  2. 以降は変数分離形の解法に従う。

演習問題

問題

次の微分方程式を解け。

  1. \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+y}{x-y}\)
  2. \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+xe^{\frac{y}{x}}}{x}\)
解答
  1. \[ \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y} \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}} \]

    \(y=ux\) とおくと

    \[ \begin{align} &\frac{d}{dx}(ux)=\frac{1+u}{1-u}\\ &\Longleftrightarrow x\frac{du}{dx}+u=\frac{1+u}{1-u}\\ &\Longleftrightarrow x\frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}-u\\ &\Longleftrightarrow x\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{1-u}\\ &\Longleftrightarrow \frac{1-u}{1+u^2}\frac{du}{dx}=\frac{1}{x} \end{align} \]

    両辺を \(x\) で積分すると

    \[ \begin{align} &\int\frac{1-u}{1+u^2}du=\int\frac{1}{x}dx\\ &\Longleftrightarrow \int\frac{1}{1+u^2}du-\int\frac{u}{1+u^2}du=\log|x|+C\\ &\Longleftrightarrow \arctan u-\frac{1}{2}\int\frac{(1+u^2)'}{1+u^2}du=\log|x|+C\\ &\Longleftrightarrow \arctan u-\frac{1}{2}\log(1+u^2)=\log|x|+C\\ &\Longleftrightarrow \arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\log\left\{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right\}=\log|x|+C \end{align} \]
  2. \[ \frac{dy}{dx}=\frac{y+xe^{\frac{y}{x}}}{x} \] \[ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+e^{\frac{y}{x}} \]

    \(y=ux\) とおくと

    \[ \begin{align} &\frac{d}{dx}(ux)=u+e^{u}\\ &\Longleftrightarrow x\frac{du}{dx}+u=u+e^{u}\\ &\Longleftrightarrow x\frac{du}{dx}=e^u\\ &\Longleftrightarrow e^{-u}\frac{du}{dx}=\frac{1}{x} \end{align} \]

    両辺を \(x\) で積分すると

    \[ \begin{align} &\int e^{-u}du=\int\frac{1}{x}dx\\ &\Longleftrightarrow -e^{-u}=\log|x|+C\\ &\Longleftrightarrow e^{-u}=-\log|x|+C\\ &\Longleftrightarrow -u=\log(-\log|x|+C)\\ &\Longleftrightarrow \frac{y}{x}=-\log(-\log|x|+C)\\ &\Longleftrightarrow y=-x\log(-\log|x|+C) \end{align} \]