変数分離形

\[ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \] のように、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\) (\(x\) の式)×(\(y\) の式)と表せる微分方程式を変数分離形という。

\(g(y)\neq0\) のとき、両辺を \(g(y)\) で割ると \[ \frac{1}{g(y)}\cdot\frac{dy}{dx}=f(x) \] 両辺を \(x\) で積分すると \[ \int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx \]

形式的に、次のように理解することもできる。

①左辺を \(y\) のみ、右辺を \(x\) のみにする \[ \frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx \] ②両辺に積分記号をつける \[ \int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx \]

\(y\neq0\) のとき \[ \frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{x}{x^2+1} \] 両辺を \(x\) で積分すると \[ \begin{align} \int\frac{1}{y}dy&=\int\frac{x}{x^2+1}dx\\ \log |y|&=\frac{1}{2}\log(x^2+1)+C_1\\ \log |y|&=\log\sqrt{x^2+1}+C_1\\ |y|&=e^{\log\sqrt{x^2+1}+C_1}\\ y&=\pm e^{C_1}\sqrt{x^2+1}\\ y&=C\sqrt{x^2+1} \end{align} \] また、\(y=0\) という定数関数は与えられた微分方程式を満たすが、これは \(C=0\) の場合に相当する。
したがって \[ y=C\sqrt{x^2+1} \]