変数分離形
変数分離形とは
\[
\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)
\]
のように、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\) (\(x\) の式)×(\(y\) の式)と表せる微分方程式を変数分離形といいます。
変数分離形の解法
変数分離形の微分方程式は、次の手順で解くことができます。
\[
\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)
\]
- \(g(y)=0\) のときを考える。
-
\(g(y)\neq0\) のとき、両辺を \(g(y)\) で割る。
\[ \frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x) \]
-
両辺を \(x\) で積分する。
\[ \begin{align} &\int\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int f(x)dx \\ \\ &\Longleftrightarrow \quad \int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx \end{align} \]
- 両辺の積分をそれぞれ計算して解を求める。
また、次のように形式的に理解することもできます。
-
左辺を \(y\) のみ、右辺を \(x\) のみにする。
\[ \frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx \]
-
両辺に積分記号をつける。
\[ \int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx \]
例題
次の微分方程式を解け。
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{xy}{x^2+1}
\]
\(y\neq0\) のとき
\[
\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{x}{x^2+1}
\]
両辺を \(x\) で積分すると
\[
\begin{align}
\int\frac{1}{y}dy&=\int\frac{x}{x^2+1}dx\\
\log |y|&=\frac{1}{2}\log(x^2+1)+C_1\\
\log |y|&=\log\sqrt{x^2+1}+C_1\\
|y|&=e^{\log\sqrt{x^2+1}+C_1}\\
y&=\pm e^{C_1}\sqrt{x^2+1}\\
y&=C\sqrt{x^2+1}
\end{align}
\]
また、\(y=0\) という定数関数は与えられた微分方程式を満たすが、これは \(C=0\) の場合に相当する。
したがって、求める解は
\[
y=C\sqrt{x^2+1} \quad (C ~\textbf{は任意定数})
\]