フーリエ級数
ベクトル \(\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}\) を正規直交基底 \(\boldsymbol{e}_i\) を用いて表現すると
\[
\boldsymbol{a}=\sum_{i=1}^na_i\boldsymbol{e}_i
\]
ここで
\[
(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_i)
=\left(\sum_{j=1}^na_j\boldsymbol{e}_j,~\boldsymbol{e}_i\right)
=\sum_{j=1}^na_j(\boldsymbol{e}_j,~\boldsymbol{e}_i)
=a_i
\]
\[
\because (\boldsymbol{e}_j,~\boldsymbol{e}_i)=\begin{cases} 1 & (j=i) \\ 0 & (j\neq i) \end{cases}
\]
であることから
\[
\boldsymbol{a}=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_i
\]
\(f(x)\) を周期 \(T\) の関数とし、\(\{e_i(x)~|~i\in\mathbb{N}\}\) を正規直交関数系とします。
\[
\begin{align}
f(x)&\sim\sum_{i=1}^\infty(f(t),e_i(t))e_i(x)\\
&=\sum_{i=1}^\infty\left\{\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e_i(t)dt\right)e_i(x)\right\}
\end{align}
\]
周期 \(T\) の三角関数系
\[
\left\{1,~\cos\left(\frac{2\pi}{T}nx\right),~\sin\left(\frac{2\pi}{T}nx\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}
\]
は直交関数系です。よってこれを正規化した関数系
\[
\left\{\frac{1}{\sqrt{T}},~\frac{\cos\left(\frac{2\pi}{T}nx\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}},~\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{T}nx\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}
\]
は正規直交関数系となります。
先ほどの \(\{e_i(x)~|~i\in\mathbb{N}\}\) をこれにしたもの
\[
\begin{align}
f(x)\sim&
\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\frac{1}{\sqrt{T}}dt\cdot\frac{1}{\sqrt{T}}\\
&+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\frac{\cos\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}dt\cdot\frac{\cos\left(\frac{2\pi}{T}nx\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}\\
&+\sum_{n=1}^\infty\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}dt\cdot\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{T}nx\right)}{\sqrt{\frac{T}{2}}}
\end{align}
\]
整理して
\[
\begin{align}
f(x)\sim&
\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)dt\\
&+\frac{2}{T}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\cos\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)dt\right\}\cos\left(\frac{2\pi}{T}nx\right)\right]\\
&+\frac{2}{T}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)\sin\left(\frac{2\pi}{T}nt\right)dt\right\}\sin\left(\frac{2\pi}{T}nx\right)\right]
\end{align}
\]
これを \(f(x)\) のフーリエ級数展開といいます。
特に、\(f(x)\) の周期が \(2\pi\) のときは
\[
\begin{align}
f(x)\sim&
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)dt\\
&+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(nt)dt\right\}\cos(nx)\right]\\
&+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left[\left\{\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(nt)dt\right\}\sin(nx)\right]
\end{align}
\]
となります。
フーリエ級数展開とは
フーリエ級数展開とは、ある関数を三角関数の和で表す手法である。
定義（フーリエ級数）
関数 \(f(x)\) を周期 \(2\pi\) の周期関数とする。このとき
\[
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
\]
を \(f\) のフーリエ級数という。また、\(a_n,~b_n\) をフーリエ係数という。
フーリエ係数
フーリエ係数は、三角関数の直交性を利用することで求められる。
再掲（三角関数の直交性）
\(m,n\in\mathbb{Z}_{\ge0}\) とする。
- \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos mx\sin nxdx=0\)
- \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos mx\cos nxdx=0~~~(m\neq n)\)
- \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin mx\sin nxdx=0~~~(m\neq n)\)
\(a_n\) を求める
両辺に \(\cos mx~(m\in\mathbb{N})\) を掛ける
\[
f(x)\cos mx\sim\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\cos mx
\]
両辺を \(0\) から \(2\pi\) まで積分する
\[
(\text{左辺})=\int_0^{2\pi}f(x)\cos mxdx
\]
\[
\begin{align}
(\text{右辺})&=\int_0^{2\pi}\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\cos mxdx\\
&=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\cos mxdx+\int_0^{2\pi}\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\cos mxdx\\
&=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\cos mxdx+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\int_0^{2\pi}\cos nx\cos mxdx+b_n\int_0^{2\pi}\sin nx\cos mxdx\right)\\
&=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\cos mxdx+a_m\int_0^{2\pi}\cos mx\cos mxdx\\
&=a_m\pi
\end{align}
\]
よって
\[
\int_0^{2\pi}f(x)\cos mxdx=a_m\pi
\]
\[
a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cos nxdx
\]
\(b_n\) を求める
両辺に \(\sin mx~(m\in\mathbb{N})\) を掛ける
\[
f(x)\sin mx\sim\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\sin mx
\]
両辺を \(0\) から \(2\pi\) まで積分する
\[
(\text{左辺})=\int_0^{2\pi}f(x)\sin mxdx
\]
\[
\begin{align}
(\text{右辺})&=\int_0^{2\pi}\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\sin mxdx\\
&=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\sin mxdx+\int_0^{2\pi}\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\sin mxdx\\
&=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\sin mxdx+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\int_0^{2\pi}\cos nx\sin mxdx+b_n\int_0^{2\pi}\sin nx\sin mxdx\right)\\
&=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\sin mxdx+b_m\int_0^{2\pi}\sin mx\sin mxdx\\
&=b_m\pi
\end{align}
\]
よって
\[
\int_0^{2\pi}f(x)\sin mxdx=b_m\pi
\]
\[
b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\sin nxdx
\]
\(a_0\) を求める
両辺を \(0\) から \(2\pi\) まで積分する
\[
(\text{左辺})=\int_0^{2\pi}f(x)dx
\]
\[
\begin{align}
(\text{右辺})&=\int_0^{2\pi}\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}dx\\
&=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}dx+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\int_0^{2\pi}\cos nxdx+b_n\int_0^{2\pi}\sin nxdx\right)
&=a_0\pi
\end{align}
\]
よって
\[
\int_0^{2\pi}f(x)dx=a_0\pi
\]
\[
a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)dx
\]