フーリエ級数

フーリエ級数展開とは、ある関数を三角関数の和で表す手法である。

フーリエ係数は、三角関数の直交性を利用することで求められる。

両辺に \(\cos mx~(m\in\mathbb{N})\) を掛ける \[ f(x)\cos mx\sim\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\cos mx \] 両辺を \(0\) から \(2\pi\) まで積分する \[ (\text{左辺})=\int_0^{2\pi}f(x)\cos mxdx \] \[ \begin{align} (\text{右辺})&=\int_0^{2\pi}\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\cos mxdx\\ &=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\cos mxdx+\int_0^{2\pi}\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\cos mxdx\\ &=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\cos mxdx+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\int_0^{2\pi}\cos nx\cos mxdx+b_n\int_0^{2\pi}\sin nx\cos mxdx\right)\\ &=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\cos mxdx+a_m\int_0^{2\pi}\cos mx\cos mxdx\\ &=a_m\pi \end{align} \] よって \[ \int_0^{2\pi}f(x)\cos mxdx=a_m\pi \] \[ a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cos nxdx \]

両辺に \(\sin mx~(m\in\mathbb{N})\) を掛ける \[ f(x)\sin mx\sim\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\sin mx \] 両辺を \(0\) から \(2\pi\) まで積分する \[ (\text{左辺})=\int_0^{2\pi}f(x)\sin mxdx \] \[ \begin{align} (\text{右辺})&=\int_0^{2\pi}\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}\sin mxdx\\ &=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\sin mxdx+\int_0^{2\pi}\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\sin mxdx\\ &=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\sin mxdx+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\int_0^{2\pi}\cos nx\sin mxdx+b_n\int_0^{2\pi}\sin nx\sin mxdx\right)\\ &=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}\sin mxdx+b_m\int_0^{2\pi}\sin mx\sin mxdx\\ &=b_m\pi \end{align} \] よって \[ \int_0^{2\pi}f(x)\sin mxdx=b_m\pi \] \[ b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\sin nxdx \]

両辺を \(0\) から \(2\pi\) まで積分する \[ (\text{左辺})=\int_0^{2\pi}f(x)dx \] \[ \begin{align} (\text{右辺})&=\int_0^{2\pi}\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right\}dx\\ &=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi}dx+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\int_0^{2\pi}\cos nxdx+b_n\int_0^{2\pi}\sin nxdx\right) &=a_0\pi \end{align} \] よって \[ \int_0^{2\pi}f(x)dx=a_0\pi \] \[ a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)dx \]