フーリエ変換
フーリエ変換の定義
\[
f(x)\sim\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-i\frac{2\pi}{T}nt}dt\right)e^{i\frac{2\pi}{T}nx}
\]
\[
\begin{align}
f(x)&\sim
\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-i\frac{2\pi}{T}nt}dt\right)e^{i\frac{2\pi}{T}nx}\\
&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-i\frac{2\pi}{T}nt}dt\right)e^{i\frac{2\pi}{T}nx}\varDelta\left(\frac{2\pi}{T}n\right)\cdot\frac{T}{2\pi}\\
&=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-i\frac{2\pi}{T}nt}dt\right)e^{i\frac{2\pi}{T}nx}\varDelta\left(\frac{2\pi}{T}n\right)\\
\end{align}
\]
ここで、\(\displaystyle\omega_n=\frac{2\pi}{T}n\) とおくと
\[
\begin{align}
f(x)&\sim
\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}f(t)e^{-i\omega_nt}dt\right)e^{i\omega_nx}\varDelta\omega_n\\
\end{align}
\]
\(T\to\infty\) とすると、\(\omega_n\to0\) となり
\[ \begin{align} f(x)&\sim \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt\right)e^{i\omega x}d\omega\\ \end{align} \]関数 \(f(t)\) に対して
\[
F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)](\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt
\]
を \(f(t)\) のフーリエ変換という。これに対して
\[
f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)](t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega
\]
を \(F(\omega)\) の逆フーリエ変換という。