ガンマ関数
ガンマ関数の定義と収束性
定義（ガンマ関数）
\(\operatorname{Re}z\gt0\) に対して
\[
\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
\]
で定義される関数をガンマ関数という。
ガンマ関数の収束性
\[
\Gamma(z)=\int_0^1t^{z-1}e^{-t}dt+\int_1^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
\]
ガンマ関数の性質と特殊値
定理（ガンマ関数の性質）
- \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\)
- \(\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin{\pi z}}~~~(z\notin\mathbb{Z})\)（相反公式）
- \(\Gamma\left(\frac{z}{2}\right)\Gamma\left(\frac{z+1}{2}\right)\)
証明
-
\[
\begin{align}
\Gamma(z+1)
&=\int_0^\infty t^ze^{-t}dt\\
&=\int_0^\infty t^z(-e^{-t})'dt\\
&=\left[-t^ze^{-t}\right]_0^\infty-z\int_0^\infty t^ze^{-t}dt\\
&=z\Gamma(z)
\end{align}
\]
証明は下記参照
証明は下記参照
定理（ガンマ関数の特殊値）
- \(\Gamma(n)=(n-1)!~~~(n\in\mathbb{N})\)
- \(\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
証明
-
\[
\begin{align}
\Gamma(n)&=(n-1)\Gamma(n-1)\\
&=(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)\\
&=(n-1)(n-2)\cdots1\cdot\Gamma(1)\\
&=(n-1)!\int_0^\infty e^{-t}dt\\
&=(n-1)!
\end{align}
\]
-
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt
\]
\(t=u^2\) とおくと
\[
\begin{align}
\int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt
&=2\int_0^\infty e^{-u^2}du\\
&=2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\
&=\sqrt{\pi}
\end{align}
\]
ガンマ関数の乗積表示
オイラーの無限乗積の公式
次の関数列を考えます。
\[
G_n(z)=\int_0^nt^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^ndt
\]
\(t=nx\) とおくと \(dt=ndx\) で
\[
\begin{align}
G_n(z)
&=\int_0^1(nx)^{z-1}(1-x)^nndx\\
&=n^z\int_0^1x^{z-1}(1-x)^ndx\\
&=n^zB(z,n+1)\\
&=n^z\cdot\frac{\Gamma(z)\Gamma(n+1)}{\Gamma(z+n+1)}\\
&=n!n^z\cdot\frac{\Gamma(z)}{\Gamma(z+n+1)}\\
&=n!n^z\cdot\frac{\Gamma(z)}{(z+n)\Gamma(z+n)}\\
&=n!n^z\cdot\frac{\Gamma(z)}{(z+n)(z+n-1)\Gamma(z+n-1)}\\
&=n!n^z\cdot\frac{\Gamma(z)}{(z+n)(z+n-1)\cdots(z+1)z\Gamma(z)}\\
&=n!n^z\cdot\frac{1}{(z+n)(z+n-1)\cdots(z+1)z}\\
&=\frac{n!n^z}{\prod_{k=0}^n(z+k)}
\end{align}
\]
ここで
\[
\lim_{n\to\infty}G_n(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=\Gamma(z)
\]
であるから、次式が成り立ちます。
定理（オイラーの無限乗積の公式）
\[
\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{\prod_{k=0}^n(z+k)}
\]
ワイエルシュトラスの無限乗積表示
オイラーの無限乗積の公式の逆数を考えます。
\[
\begin{align}
\frac{1}{\Gamma(z)}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!n^z}\prod_{k=0}^n(z+k)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{z}{n!n^z}\prod_{k=1}^n(z+k)\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{z}{n^z}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}ze^{-z\log n}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}ze^{z\left(\gamma-\sum_{m=1}^n\frac{1}{m}\right)}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}ze^{\gamma z}e^{\left(-\sum_{m=1}^n\frac{z}{m}\right)}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)e^{-\frac{z}{k}}\\
&=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\\
\end{align}
\]
したがって、次式が成り立ちます。
定理（ワイエルシュトラスの無限乗積表示）
\[
\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}
\]
相反公式
ワイエルシュトラスの無限乗積表示より、相反公式が導けます。
\[
\begin{align}
\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}
&=\frac{1}{-z\Gamma(z)\Gamma(-z)}\\
&=-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{\Gamma(z)}\cdot\frac{1}{\Gamma(-z)}\\
&=-\frac{1}{z}\cdot ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\cdot(-z)e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{n}\right)e^{\frac{z}{n}}\\
&=z\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)\cdot\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{n}\right)\\
&=z\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)
\end{align}
\]
ここで、正弦関数のオイラーの無限乗積
\[
\sin{\pi z}=\pi z\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)
\]
を用いることで
\[
\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)}=\frac{\sin{\pi z}}{\pi}
\]
したがって、次式が成り立ちます。
定理（相反公式）
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin{\pi z}}~~~(z\notin\mathbb{Z})
\]
スターリングの公式
定理（スターリングの公式）
\[
\Gamma(z+1)\fallingdotseq\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z
\]