定積分

閉区間 \([a,b]\) に属する点列 \(x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n\) を \[ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] となるようにとり、区間 \([a,b]\) を以下のような小さい閉区間 \[ [x_0,x_1],~[x_1,x_2],~\cdots,~[x_{n-1},x_n] \] に分けることを分割という。このような分割を \[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] と表す。

分割 \[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] に対して、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) の長さ \(x_i-x_{i-1}\) を考える。
この中で最も長いもの、すなわち \[ |\varDelta|=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1}) \] を分割 \(\varDelta\) の大きさという。

区間 \([a,b]\) の分割 \[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] に対して、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) ごとに任意の点 \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\) を1つずつ選ぶ。
このとき、関数 \(f(x)\) に対して \[ S(f,\varDelta,{\xi_i})=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \] をリーマン和という。

関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) 上で有界であるとする。
区間 \([a,b]\) の分割 \[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] に対して、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) ごとに任意の点 \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\) を1つ選ぶ。このときのリーマン和は \[ S(f,\varDelta,{\xi_i})=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \] である。このリーマン和における、分割の大きさ \(|\varDelta|\) を \(0\) に近づける極限 \[ \lim_{|\varDelta| \to 0}S(f,\varDelta,{\xi_i}) \] がある一定の値に収束するならば、\(f(x)\) は \([a,b]\) 上でリーマン積分可能であるといい、この極限値を \[ \int_a^b f(x)dx \] と書き、これを閉区間 \([a,b]\) における \(f(x)\) の定積分という。