フルラー二積分

定理（フルラー二積分）

関数 \(f(x)\) を \(C^1\) 級関数とし \[ f(\infty):=\lim_{x\to\infty}f(x) \] が収束するとする。
このとき、\(0\lt a\lt b\) として次式が成り立つ。 \[ \int_0^\infty\frac{f(bx)-f(ax)}{x}dx=\left\{f(\infty)-f(0)\right\}\log\frac{b}{a} \]

証明

\(M\gt0\) とする。

\[ \begin{align} \int_0^M\frac{f(bx)-f(ax)}{x}dx &=\int_0^M\int_a^bf'(tx)dtdx \end{align} \]

フビニの定理より、積分の順序が交換できるので

\[ \begin{align} \int_0^M\int_a^bf'(tx)dtdx &=\int_a^b\int_0^Mf'(tx)dxdt\\ &=\int_a^b\left[\frac{f(tx)}{t}\right]_0^Mdt\\ &=\int_a^b\frac{f(Mt)-f(0)}{t}dt\\ \end{align} \]

ここで、任意の \(t \in [a, b]\) に対して \[ \frac{f(Mt) - f(0)}{t} \to \frac{f(\infty) - f(0)}{t} \quad (M \to \infty) \] が成立する。
また、\(f\) は \([0,\infty)\) 上で有界より、ある定数 \(C > 0\) が存在して \[ \left|\frac{f(Mt) - f(0)}{t}\right| \le \frac{C}{t} \quad (t \in [a, b]) \] が成り立ち、\(\displaystyle\frac{C}{t}\) は \([a, b]\) 上で可積分である。
よって、ルベーグの優収束定理より、極限と積分の順序を交換できる。

\[ \begin{align} \lim_{M\to\infty}\int_a^b\frac{f(Mt)-f(0)}{t}dt &=\int_a^b\lim_{M\to\infty}\frac{f(Mt)-f(0)}{t}dt\\ &=\int_a^b\frac{f(\infty)-f(0)}{t}dt\\ &=\{f(\infty)-f(0)\}\int_a^b\frac{1}{t}dt\\ &=\{f(\infty)-f(0)\}[\log t]_a^b\\ &=\{f(\infty)-f(0)\}\log\frac{b}{a} \end{align} \]

したがって

\[ \int_0^\infty\frac{f(bx)-f(ax)}{x}dx=\{f(\infty)-f(0)\}\log\frac{b}{a} \]

例題

フルラー二積分を用いて、次の積分を計算してみましょう。

例題

次の定積分を計算せよ。

\[ \int_0^\infty\frac{\arctan 2x-\arctan x}{x}dx \]

\(\arctan x\) は \(C^1\) 級関数であり \[ \arctan0=0,~\lim_{x\to\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2} \] であるから、フルラー二積分より \[ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\arctan 2x-\arctan x}{x}dx =&\left(\frac{\pi}{2}-0\right)\log\frac{2}{1}\\ =&\frac{\pi}{2}\log 2 \end{align} \]

演習問題

問題

解答