不定積分と原始関数
不定積分
関数 \(f(x)\) は区間 \(I\) 上でリーマン可積分とする。\(a,x\in I\) とすると、\(f\) は区間 \([a,x]\) 上でリーマン可積分であり、関数 \[ F(x):=\int_a^x f(t)dt \] が定義できる。これを点 \(a\) を基点とする \(f\) の不定積分という。
原始関数
関数 \(f(x)\) に対して微分可能な関数 \(F(x)\) が存在し \[ F'(x)=f(x) \] となるとき、\(F\) を \(f\) の原始関数という。
例えば
\[
\left(\frac{1}{2}x^2+x\right)'=x+1
\]
なので、\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2+x\) は \(x+1\) の原始関数です。しかし
\[
\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)'=x+1
\]
のように、定数を加えたものでも成り立ちます。
つまり、原始関数が存在するとき、それは一意に定まるとは限りません。
\(F\) が \(f\) の原始関数であるとき、\(C\in\mathbb{R}\) とすると \[ F(x)+C \] もまた、\(f\) の原始関数である。