有理関数の積分
有理関数の積分の基本公式
- \(\displaystyle\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C~~~(n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\})\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\log|x|+C\)
- \(\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C\)
有理関数の積分の計算手順
有理関数の積分は以下の手順で求めることができます。
１．真分数化
\(A(x),~B(x)\) を多項式とし、\(\deg A(x)\ge \deg B(x)\) とします。
\(A(x)\) を \(B(x)\) で割った商を \(Q(x)\) 、余りを \(R(x)\) とすると
\[
\begin{align}
\int\frac{A(x)}{B(x)}dx
&=\int\frac{B(x)Q(x)+R(x)}{B(x)}dx\\
&=\int Q(x)dx+\int\frac{R(x)}{B(x)}dx
\end{align}
\]
\(Q(x)\) は多項式なので \(\displaystyle\int Q(x)dx\) は計算できます。
２．微分形接触
\(R(x)=kB'(x)+C(x)~~(k\in\mathbb{R})\) と表せるとき \[ \begin{align} \int\frac{R(x)}{B(x)}dx &=k\int\frac{B'(x)}{B(x)}dx+\int\frac{C(x)}{B(x)}dx\\ &=k\log|B(x)|+\int\frac{C(x)}{B(x)}dx \end{align} \]
３．部分分数分解
\(\displaystyle\frac{C(x)}{B(x)}\) は真分数式です。
任意の真分数式は \(a,p,q,l,m,\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\) として
\[
\frac{\alpha}{(x-a)^l},~~\frac{\beta x+\gamma}{(x^2+px+q)^m}~~(p^2-4q\lt0)
\]
の和で表せることが知られています。
\(\displaystyle\int\frac{C(x)}{B(x)}dx\) は \(\displaystyle\frac{C(x)}{B(x)}\) を部分分数分解することで計算できます。