過剰和・不足和とダルブーの定理

関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) 上で有界であるとする。
区間 \([a,b]\) の分割 \[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] に対して、各小区間 \([x_{i-1},x_i]\) における関数 \(f(x)\) の上限、下限を \[ M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x),~~~m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x) \] とする。このとき \[ U(f,\varDelta):=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1}) \] を過剰和といい \[ L(f,\varDelta):=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1}) \] を不足和という。

\[ \lim_{|\varDelta|\to0}U(f,\varDelta)=\inf_{\varDelta}U(f,\varDelta) \] \[ \lim_{|\varDelta|\to0}L(f,\varDelta)=\sup_{\varDelta}L(f,\varDelta) \] が成り立つ。

閉区間 \([a,b]\) の分割を \[ \varDelta:a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b \] とする。
関数 \(f(x)\) が区間 \([a,b]\) 上でリーマン積分可能であるための必要十分条件は
\[ \inf_{\varDelta}U(f,\varDelta)=\sup_{\varDelta}L(f,\varDelta) \] となることである。