三角関数の積分

目次
  4. 正接関数の積分
  5. ベータ関数の利用
  6. ロバチェフスキーの積分公式
  7. ラプラス変換の応用
  8. 留数定理の応用
  9. 演習問題

正接関数の積分

\[ \int f(\tan x)dx \]

定理
\(t=\tan x\) と置換することにより
  1. \(\displaystyle\int f(\tan x)dx=\int\frac{f(t)}{t^2+1}dt\)
  2. \(\displaystyle\int f(\tan x)\sec^2xdx=\int f(t)dt\)

ベータ関数の利用

\[ \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^px\cos^qxdx \] の形の積分を考える。

定理（ベータ関数の三角関数表示）
\[ B(x,y)=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta d\theta \]

これを用いることにより \[ \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^px\cos^qxdx=\frac{1}{2}B\left(\frac{p+1}{2},\frac{q+1}{2}\right) \] が成り立つ。

ロバチェフスキーの積分公式

定理（ロバチェフスキーの積分公式）
\(f(x)=f(\pi+x)=f(\pi-x)\) を満たす \(\mathbb{R}_{\ge0}\) 上の連続関数 \(f\) に対して \[ \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}f(x)dx=\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}f(x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(x)dx \] が成り立つ。

ラプラス変換の応用

\(P(x)\) は整式とする。 \[ \int_a^b\frac{\sin^nx}{P(x)}dx,~~~~~\int_a^b\frac{\cos^nx}{P(x)}dx \] の形の積分を考える。

\[ I(t)=\int_a^b\frac{\sin^n(tx)}{P(x)}dx \] として、\(I(t)\) をラプラス変換すると \[ \begin{align} \mathcal{L}[I(t)]&=\int_0^\infty e^{-st}\int_a^b\frac{\sin^n(tx)}{P(x)}dxdt\\ &=\int_a^b\frac{1}{P(x)}\int_0^\infty e^{-st}\sin^n(tx)dtdx\\ &=\int_a^b\frac{\mathcal{L}[\sin^n(tx)]}{P(x)}dx \end{align} \] これを逆ラプラス変換することにより、\(I(t)\) が求まる。

留数定理の応用

\[ \int_0^{2\pi}R(\cos x,\sin x)dx \]

定理（留数定理の三角関数の積分への応用）
\(\cos\theta,\sin\theta\) の有理関数 \(R(\cos x,\sin x)\) に対して \[ \int_0^{2\pi}R(\cos x,\sin x)dx=\int_{|z|=1}R\left(\frac{z+z^{-1}}{2},\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)\frac{dz}{iz} \] が成り立つ。

例題