ラプラス変換の定義

ラプラス変換の定義

定義（ラプラス変換・逆ラプラス変換）

関数 \(f(t)\) に対して

\[ F(s)=\mathscr{L}[f(t)](s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \]

を \(f(t)\) のラプラス変換という。これに対して

\[ f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)](t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} F(s)e^{st}ds \]

を \(F(s)\) の逆ラプラス変換という。

ラプラス変換の計算例

例題1

次の関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) を求めよ。

\[ f(t)= \begin{cases} 0 & (t \lt 0) \\ 1 & (t \ge 0) \end{cases} \]
解答例
\[ \begin{align} F(s) &= \int_0^\infty1\cdot e^{-st}dt \\ &= \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{s} \quad (\operatorname{Re}s\gt0) \end{align} \]
例題2

次の関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) を求めよ。

\[ f(t)= \begin{cases} 0 & (t \lt 0) \\ t & (t \ge 0) \end{cases} \]
解答例
\[ \begin{align} F(s) &= \int_0^\infty te^{-st}dt \\ &= \int_0^\infty t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)'dt \\ &= \left[-\frac{1}{s}te^{-st}\right]_0^\infty - \int_0^\infty(t)'\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)dt \\ &= 0 + \int_0^\infty\frac{1}{s}e^{-st}dt \\ &= \left[-\frac{1}{s^2}e^{-st}\right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{s^2} \quad (\operatorname{Re}s\gt0) \end{align} \]

ラプラス変換の性質

定理（ラプラス変換の線形性）

信号 \(f(t),g(t)\) 、定数 \(a,b\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。

\[ \mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathscr{L}[f(t)]+b\mathscr{L}[g(t)] \]

定理（時間軸の推移）

信号 \(f(t)\) 、定数 \(\tau\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。

\[ \mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau s}\mathscr{L}[f(t)] \]

定理（減衰性）

関数 \(f(t)\) 、定数 \(a\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。

\[ \mathscr{L}[f(t)e^{-at}]=F(s+a) \]

定理（相似性）

関数 \(f(t)\) 、定数 \(a\in\mathbb{R}\) に対して次が成り立つ。

\[ \mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) \quad (a\gt0) \]
定理（時間積分）

信号 \(f(t)\) に対して次が成り立つ。

\[ \mathscr{L}\left[\int_0^tf(\tau)d\tau\right]=\frac{1}{s}F(s) \]

演習問題

問題
解答