ラプラス変換の存在条件

指数 \(\alpha\) 位の関数

定義（指数 \(\alpha\) 位の関数）

区間 \([0,\infty)\) で定義された関数 \(f(t)\) に対して、ある定数 \(M\gt0,\alpha\) が存在して

\[ \forall t\in[0,\infty),\quad|f(t)|\le Me^{\alpha t} \]

を満たすとき、\(f(t)\) を指数 \(\alpha\) 位の関数という。

これはグラフを描くとイメージがしやすいと思います。

\[ |f(t)|\le Me^{\alpha t} \]

の絶対値を外すと次のように書けます。

\[ -Me^{\alpha t}\le f(t)\le Me^{\alpha t} \]

グラフを描くと下図のようになります。

関数 \(y=f(t)\) が２つの曲線 \(y=Me^{\alpha t}\) と \(y=-Me^{\alpha t}\) に挟まれる領域（境界線を含む）に存在するとき、\(f(t)\) を指数 \(\alpha\) 位の関数と呼ぶということです。

ラプラス変換の存在条件

定理（ラプラス変換の存在条件）

区間 \([0,\infty)\) で定義された関数 \(f(t)\) が、区分的に連続であり、指数 \(\alpha\) 位の関数であるとき、\(\operatorname{Re}s\gt\alpha\) を満たすすべての \(s\) に対して、\(f(t)\) のラプラス変換 \(\mathscr{L}[f(t)](s)\) が存在する。

証明

条件より、\(f(t)\) は指数 \(\alpha\) 位の関数であるから、ある \(M\gt0,\alpha\) が存在して

\[ |f(t)|\le Me^{\alpha t} \]

が成り立つ。 \(s\gt\alpha\) とすると

\[ \begin{align} \left|\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt\right| &\le\int_0^\infty |f(t)e^{-st}|dt\\ &=\int_0^\infty |f(t)|e^{-st}dt\\ &\le\int_0^\infty Me^{\alpha t}e^{-st}dt\\ &=M\int_0^\infty e^{-(s-\alpha)t}dt\\ &=M\left[-\frac{1}{s-\alpha}e^{-(s-\alpha)t}\right]_0^\infty \\ &=M\left\{\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{s-\alpha}e^{-(s-\alpha)t}\right)+\frac{1}{s-\alpha}\right\} \\ &=\frac{M}{s-\alpha} \quad (\because s-\alpha\gt0) \end{align} \]

よって、広義積分 \(\displaystyle\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt\) は絶対収束する。したがって、\(s\gt\alpha\) のとき、\(f(t)\) のラプラス変換

\[ \mathscr{L}[f(t)](s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt \]

は存在する。

演習問題

問題

解答